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1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m5；Q：对所有的mR，m5.上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？答案语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题语句P是命题Q中的一部分梳理(1)全称量词及全称命题的概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题(2)表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，变量x的取值范围用M表示那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0M，使得p(x0)不成立即可知识点二存在量词、特称命题思考找出下列命题的共同特征，并判断其真假(1)存在x0R，x0；(2)有些三棱锥是正四面体答案所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思梳理(1)存在量词及特称命题的要命短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题，叫做特称命题(2)表示特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为x0M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”(3)特称命题的真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”()(3)全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词()类型一判断命题的类型例1将下列命题用“”或“”表示(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax22x10(a1)至少存在一个负根；(3)若直线l垂直于平面内任一直线，则l.考点量词与命题题点全称(特称)命题的符号表示解(1)xR，x20.(2)x00，ax2x010(a1)(3)若a，la，则l.反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是特称命题(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面考点量词与命题题点全称(存在)量词的识别解命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题命题(2)为特称命题命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题类型二判断命题的真假例2判断下列命题的真假(1)xR，x2x1；(2)，cos()cos cos ；(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(5)存在一个实数x0，使等式xx080成立考点特称(全称)命题的真假性判断题点特称(全称)命题真假的判断解(1)真命题，x2x1x2x20，x2x1恒成立(2)真命题，例如，符合题意(3)真命题，函数f(x)0既是偶函数又是奇函数(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数(5)假命题，因为该方程的判别式310，故无实数解反思与感悟要判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题要判定特称命题“x0M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题跟踪训练2判断下列命题的真假(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)x0R,2xx010，不存在x0R，使2xx01x；(2)命题p(x)：x25x60；(3)命题p(x)：sin xcos x.考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围解(1)x1x，10(此式恒成立)，xR.(2)x25x60，(x2)(x3)0，x3或xcos x，2kx0，由题意知，原命题的否定为真命题，则(a1)2420，则2a12，则1a3.故选B.4已知命题“x0R，xax04a0.A1 B2 C3 D4考点全称量词与全称命题题点全称命题的真假性判断答案C解析为真命题；当xy0时，x2|y|0，为假命题二、填空题8若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案1解析x，tan x1，m1，故实数m的最小值为1.9已知命题p：c0，y(3c)x在R上为减函数，命题q：xR，x22c30.若p，q均为真命题，则实数c的取值范围为_考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案(2,3)解析由于pq为真命题，所以p，q都是真命题，所以解得2c3.故实数c的取值范围为(2,3)10若命题“x0R，axax010”为假命题，则实数a的取值范围为_考点特称命题的真假性判断题点由特称命题真假性求参数的取值范围答案0,4)解析由题意知，xR，ax2ax10恒成立，当a0时，10恒成立，满足条件；当a0时，若ax2ax10恒成立，则解得0a4.综上所述a0,4)11有下列四个命题：p1：x0(0，)， ；p2：x0(0,1)，；p3：x(0，)，；p4：x，其中为真命题的是_考点量词与命题题点全称(特称)命题的真假性判断答案p2，p4解析因为幂函数yx(0)在(0，)上是增函数，所以命题p1是假命题；因为对数函数ylogax(0a1)是减函数，所以当x(0,1)时，0logxlogx，所以0，即，所以命题p2是真命题；因为函数y在(0，)上单调递减，所以有0y1，当x(0,1时，y0，当x(1，)时，y0，所以命题p3是假命题；因为函数y在上单调递减，所以有0y1，而函数y在上的函数值y1，所以命题p4是真命题三、解答题12判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程axb0都有唯一解；(3)存在实数x0，使得2.考点全称(特称)命题的真假性判断题点全称(特称)命题的真假性判断解(1)是特称命题，用符号表示为“直线l，l的斜率不存在”，是真命题(2)是全称命题，用符号表示为“a，bR，方程axb0都有唯一解”，是假命题(3)是特称命题，用符号表示为“x0R，2”，是假命题13已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“x0R，x2ax02a0”，若命题p，q均为真命题，求实数a的取值范围考点命题的真假性判断题点由命题真假求参数的取值范围解若p为真命题，则ax2对于x1,2恒成立，所以a1.若q为真命题，则关于x的方程x22ax2a0有实根，所以4a24(2a)0，即a1或a2.又p，q均为真命题，所以实数a的取值范围为a2或a1.四、探究与拓展14下列四个命题：没有一个无理数不是实数；空集是任何一个非空集合的真子集；112；至少存在一个整数x，使得x2x1是整数其中是真命题的为()A B C D考点量词与命题题点特称(全称)命题的真假性判断答案C解析所有无理数都是实数，为真命题；显然为真命题；显然不成立，为假命题；取x1，能使x2x11是整数，为真命题15已知f(x)log2t，t，8，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围解易知f(t).由题意知，令g(m)(x2)mx24x4(x2)m(x2)2，则g(m)0对任意m恒成立，所以即解得x2或x1.故实数x的取值范围是(，1)(2，).
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