2018北京市石景山区高三(上)期末数学(理)

.2018北京市石景山区高三（上）期末数 学（理） 2018.1第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 ， ,则 （ ）2,10,A(1)20BxABIA B C D,0,2设 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）i2iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3用计算机在 之间随机选取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为（ ）01: a13aA B CD1324以角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角 终边过点 ，则x 2,4P（ ）tanAB. CD1331335 “ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）0m2208xymA充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6给定函数 ， ， ， ，其中在区间 上单调递减的函数序号12yx12log()x1yx12xy(0,1)是（ ）A B C D7 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体） ，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为 1丈，那么此刍甍的体积为（ ）A. 3 立方丈 B. 5 立方丈 C. 6 立方丈 D. 12 立方丈.8 小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点 出发，沿箭头方向经过点 跑到点 ，共用时 ，他的教ABC30s练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为 ，他与教练间的距离为 ，表示()ts()ym与 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的（ ）ytA点 B点 C点 D点MNPQ第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9若 ， ， ，则 的大小关系为_.1ln2a0.83b132c,abc10执行下面的程序框图，若输入的 的值为 ，则输出的 的值是_.xy11.若实数 满足 则 的取值范围为_.,xy3,2,yx zy12.设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则 _.aR5()a7x10a13在 中， 为 上异于 ， 的任一点， 为 的中点，若 ，则ABCHBCMAHAMBCurur_14若集合 且下列四个关系：,4321,dcba ； ； ； 有且只有一个是正确的.1d请写出满足上述条件的一个有序数组 _,符合条件的全部有序数组 的个数是),(cba ),(dcba_.QPN M图 2图 1 30t(s)y(m)ODC BA.三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题共 13 分）如图，在 中， 为边 上一点， ， ， ABCVD6AD3B2C（）若 ，求 的大小；2（）若 ，求 的面积316 （本小题共 13 分）摩拜单车和 ofo 小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过 小时（包含 小时）是免费的，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算，1111例如：骑行 小时收费为 元）.现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过 小时还车的概率2.52分别为， ； 小时以上且不超过 小时还车的概率分别为 ， ；两人用车时间都不会超过 小时.14 1243（）求甲乙两人所付的车费相同的概率；（）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 .E图 1B DACAB D C图 2.17 （本小题共 14 分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ，PABCDBPCDAB1C2AB， 为 中点2PCDE（）求证： ； /平 面（）求二面角 的余弦值；APC（）在棱 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由MBACPMC18 （本小题共 13 分）已知函数 ln()xaf（）若 ,确定函数 的零点；1af（）若 ，证明：函数 是 上的减函数；()x0,)（）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值.()yfx1,f 0xyaB A D C E P .19 （本小题共 14 分）已知椭圆 离心率等于 ， 、 是椭圆上的两点.2:1(0)xyCab12(,3)P(2,)Q（）求椭圆 的方程；（） 是椭圆上位于直线 两侧的动点.当 运动时，满足 ，试问直线 的斜率是否,ABPQ,ABABPAB为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.20 （本小题共 13 分）如果 项有穷数列 满足 ， ， ，即 ，则称有穷数列nna1n21na1na1(,2)inian为 “对称数列”.例如，由组合数组成的数列 就是“对称数列”.a 0,C()设数列 是项数为 7 的“对称数列” ，其中 成等比数列，且 .依次写出数列 的nb1234b253,bnb每一项；（）设数列 是项数为 （ 且 ）的“对称数列” ，且满足 ，记 为数列nc21k*Nk1ncnS的前 项和；n()若 是单调递增数列，且 .当 为何值时， 取得最大值？12,kc 207kck21kS（）若 ，且 ，求 的最小值.08218kS.数学试题答案一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A A D B A C B D二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分(第 14 题第一空 3 分，(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3)任选一个即可，第二空 2 分)三、解答题共 6 小题，共 80 分15 （本小题共 13 分）解：（）设 ， ，BADC则 ，2 分1tan21tan3A所以5 分t()t因为 ，0,所以 ，4即 7 分BAC（）过点 作 交 的延长线于点 ，HBCH因为 ，23D所以 ，AC所以 ； 11 分sin3H所以 13 分1522ABCS16 （本小题共 13 分）题号 9 10 11 12 13 14答案 abc133,621(3,2,1,4); 6AB D C H.解：（）甲乙两人用车时间超过 2 小时的概率分别为： ，1 分14甲乙两人所付车费用相同的概率 4 分2p516（）随机变量 的所有取值为 . 5 分0,13410248P516124P4331610 分14P的分布列为: 0 1 2 3 4P1856516161611 分数学期望 . 13 分1502861E3174617 （本小题共 14 分）解：（）证明：设 与 的交点为 ，连接 .ACBDFE因为 为矩形，所以 为 的中点，B在 中，由已知 为 中点，PEP所以 ， 2 分/F又 平面 ， 平面 ， 3 分EDCB所以 平面 . 4 分/B（）解：取 中点 ，连接 . OP因为 是等腰三角形， 为 的中点，P.所以 ，POCD又因为平面 平面 ，AB因为 平面 ， ，PC所以 平面 5 分取 中点 ，连接 ，ABGO由题设知四边形 为矩形，D所以 ，FC所以 P如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ，Oxyz(1,0)A(,1)C， ， ， ， .(0,1)(,0)D(,)BG， . 6 分,2ACur,Pur设平面 的法向量为 ，()nxyz则 即0,nPru0,.yz令 ，则 ， ，1z2x所以 . (2,)nr平面 的法向量为 ，PCD(1,0)OGur设 ， 的夹角为 ，所以 . 9 分nr6cos3由图可知二面角 为锐角，A所以二面角 的余弦值为 . 10 分PCB63（）设 是棱 上一点，则存在 使得 M0,1PMCur因此点 ， ， 12 分(0,1)(,)ur (,20)A由 ，即 BACur2因为 ，所以在棱 上存在点 ，使得 ，,2PCBC此时 14 分1PMA xD CEPyzOBMFG.18 （本小题共 13 分）解：（）当 时，则 1 分1aln(1)xf定义域是 ，令2 分(,)ln(0x是所求函数的零点. 3 分ln10,2x（）当 时，函数 的定义域是 ， 4 分a()fx(1,0)(,)所以 ，5 分2ln1()xf令 ，只需证： 时， 6 分l()g0x()0gx又 ，221()(1)xx故 在 上为减函数， 7 分g0,)所以 ， 8 分(ln0x所以 ，函数 是 上的减函数 9 分)f()fx,)（）由题意知， ，且 ， 10 分1()|xf 2ln()()xaf所以 ，即有 ， 11 分(1)lnfal(1)0a令 ， ，则 ，l()at 12)(ta故 是 上的增函数，又 ，因此 是 的唯一零点，()t,1(0t0)t即方程 有唯一实根 ，所以 13 分ln()a19 （本小题共 14 分）解：（）因为 ，又 ，12cea22bc所以 2 分24,3b设椭圆方程为 ,代入 ,得 4 分21xyc()224,16,cab椭圆方程为5 分26（）当 时， 斜率之和为 6 分APQB,PA0.设 斜率为 ，则 斜率为 7 分PAkPBk设 方程为 ，与椭圆联立得3(2)yx23()48ykx代入化简得： 248)(91)0kkx，(2,3)P12()3x同理 ， ，2284k21634kx122483kx1212()ABykx即直线 的斜率为定值 . 14 分20 （本小题共 13 分）解:() 因为数列 是项数为 7 的“对称数列” ，所以 1 分nb531b又因为 成等比数列，其公比 ，1234, 32q所以数列 的 7 项依次为：9，3，1， ，1，3，9 . 3 分nb（）()由 是单调递增数列且数列 是“对称数列”且满足 可知 是公差为12,kc nc12nc12,kc2 的等差数列， 是公差为 的等差数列 5 分21212kkScc121()kk(07077 分2436k所以当 时， 取得最大值. 8 分1921kS（）因为 即 .1nc1nc所以 即 .22于是 10 分114()kkccck.因为数列 是“对称数列”nc所以 21221kkSc21()kcc 1(2)(2)1()kck40因为 即 解得 或218k24008kk09所以 12 分9当 是公差为 的等差数列时满足 ，且 ，12,kc 12c218kS此时 ，所以 的最小值为 . 13 分009【注：若有其它解法，请酌情给分】