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课时规范练44椭圆基础巩固组1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=12.(2017河南洛阳三模)已知集合M=xx29+y24=1,N=yx3+y2=1,MN=()A.B.(3,0),(0,2)C.-2,2D.-3,33.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF1B的周长为43,则C的方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=14.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为()A.36B.13C.12D.335.(2017广东、江西、福建十校联考,文11)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.55,1B.22,1C.0,55D.0,226.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为.7.(2017湖北八校联考)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|PF1|的值为.8.(2017广东佛山一模,文20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M(2,1),且离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)若过原点的直线l1与椭圆C交于P,Q两点,且在直线l2:x-y+26=0上存在点M,使得MPQ为等边三角形,求直线l1的方程.导学号24190941综合提升组9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.1210.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.3411.已知椭圆x2a2+y2b2=1的左顶点为A,左焦点为F,点P为该椭圆上任意一点;若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=12,则APFP的取值范围是.12.(2017湖北武汉二月调考,文20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为22,F2与椭圆上点的连线中最短线段的长为2-1.(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知E上存在一点P,使得直线PF1,PF2分别交椭圆E于点A,B,若PF1=2F1A,PF2=F2B(0),求直线PB的斜率.导学号24190942创新应用组13.(2017安徽马鞍山一模,文16)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足PF1PF2=b22的点P,则椭圆的离心率的范围是.14.(2017山西太原二模,文20)如图,曲线C由左半椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0,x0)和圆N:(x-2)2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成,A,B是M与N的公共点,点P,Q(均异于点A,B)分别是M,N上的动点.(1)若|PQ|的最大值为4+5,求半椭圆M的方程;(2)若直线PQ过点A,且AQ+AP=0,BPBQ,求半椭圆M的离心率.答案：1.A由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程为x2169+y2144=1.2.D集合M=xx29+y24=1=-3,3,N=yx3+y2=1=R,则MN=-3,3,故选D.3.A由椭圆的定义可知AF1B的周长为4a,所以4a=43,即a=3,又由e=ca=33,得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为x23+y22=1,故选A.4.D如图所示,在RtPF1F2中,|F1F2|=2c,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由tan 30=|PF2|F1F2|=x2c=33,得x=233c.由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=3x,a=32x=3c,e=ca=c3c=33.5.BF1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右两个焦点,离心率0e1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点P(x,y),由PF1PF2,得(x-c,y)(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1,整理,得x2=(2c2-a2)a2c20,解得e22,又0e1,22e|C1C2|,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为x225+y216=1.7.513由题意知a=3,b=5.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2x轴,所以|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=6-|PF2|=133,所以|PF2|PF1|=513.8.解 (1)由题意可知,椭圆的离心率为e=ca=1-b2a2=32,即a2=4b2.由椭圆过点M(2,1),代入可知44b2+1b2=1,解得b2=2,则a2=8.椭圆C的方程为x28+y22=1.(2)当直线l1的斜率k不存在时,P,Q两点为短轴的端点,直线l2与x轴的交点(-26,0)即点M,但MPQ不是等边三角形.当直线l1的斜率k存在时,设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),当k=0时,直线PQ的垂直平分线为y轴,y轴与直线l2的交点为M(0,26),由|PO|=22,|MO|=26,MPO=60.则MPQ为等边三角形,此时直线l1的方程为y=0.当k0时,设直线l1的方程为y=kx,由y=kx,x28+y22=1,整理得(1+4k2)x2=8,解得|x0|=81+4k2,则|PO|=1+k281+4k2,则PQ的垂直平分线为y=-1kx,由x-y+26=0,y=-1kx,解得x=-26kk+1,y=26k+1,则M-26kk+1,26k+1,|MO|=24(k2+1)(k+1)2.MPQ为等边三角形,则|MO|=3|PO|,24(k2+1)(k+1)2=31+k281+4k2,解得k=0(舍去),k=23,直线l1的方程为y=23x.综上可知,直线l1的方程为y=0或y=23x.9.B抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则c=2.ca=12,a=4.b2=a2-c2=12.于是椭圆方程为x216+y212=1.抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.10.A由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由OBGFBM,得12|OE|FM|=|OB|BF|,即ka2k(a-c)=aa+c,整理,得ca=13,故椭圆的离心率e=13,故选A.11.0,12因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.因为离心率e=12,所以c=1,b=a2-c2=3.则椭圆方程为x24+y23=1,所以点A的坐标为(-2,0),点F的坐标为(-1,0).设P(x,y),则APFP=(x+2,y)(x+1,y)=x2+3x+2+y2.由椭圆方程得y2=3-34x2,所以APFP=x2+3x-34x2+5=14(x+6)2-4.因为x-2,2,所以APFP0,12.12.解 (1)由题意e=ca=22,a-c=2-1,由解得a=2,c=1,b=a2-c2=1.椭圆E的标准方程是x22+y2=1.(2)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线lPA的方程为x=my-1.由x=my-1,x2+2y2=2,消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,则y0y1=-1m2+2.1m=y0x0+1,m=x0+1y0.|PF1|F1A|=-y0y1=-y0-1(m2+2)y0=(m2+2)y02=(x0+1)2y02+2y02=(x0+1)2+2y02=(x0+1)2+2-x02=3+2x0.3+2x0=2,解得x0=-12,P-12,144.kPB=kPF2=144-12-1=146.故直线PB的斜率为146.13.33,1椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足PF1PF2=b22的点P,|PF1|PF2|cos=b22,4c2=PF12+PF22-2|PF1|PF2|cos,|PF1|+|PF2|=2a,可得PF12+PF22+2|PF1|PF2|=4a2,4c2=4a2-2|PF1|PF2|-b2.2|PF1|PF2|=3a2-3c22|PF1|+|PF2|22,当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立.可得c2a213,解得e33.又0e1,e33,1.14.解 (1)A(0,1),B(0,-1),故b=1,|PQ|的最大值为4+5=a+2+5,解得a=2.半椭圆M的方程为x24+y2=1(-2x0).(2)设直线PQ方程为y=kx+1,与圆N的方程联立可得(k2+1)x2+(2k-4)x=0,xA+xQ=4-2k1+k2.xA=0,Q4-2k1+k2,-k2+4k+11+k2.AQ+AP=0,AQ=(xQ,yQ-1),AP=(xP,yP-1),xP+xQ=0,yP+yQ=2.xP=2k-41+k2,yP=3k2-4k+11+k2.BPBQ,BPBQ=xPxQ+(yP+1)(yQ+1)=-(2k-4)2(1+k2)2+(-k2+4k+1)(3k2-4k+1)(k2+1)2+2+1=(k2+1)(16k-12)=0,解得k=34,P-85,-15.代入椭圆方程可得6425a2+125=1,解得a2=83.半椭圆M的离心率e=1-b2a2=104.
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