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考点规范练40直线、平面垂直的判定与性质一、基础巩固1.若平面平面,平面平面=直线l,则()A.垂直于平面的平面一定平行于平面B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面C.垂直于平面的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直答案D解析对于A,垂直于平面的平面与平面平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面垂直、斜交、平行或在平面内,故B错;对于C,垂直于平面的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.2.设为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是()A.若a,b,则abB.若a,ab,则bC.若a,ab,则bD.若a,ab,则b答案B解析如图(1),知A错;如图(2)知C错;如图(3),aa,a,ba,知D错;由线面垂直的性质定理知B正确.3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE答案C解析因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC.同理有DEAC,于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC平面BDE.又因为AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE,故选C.4.已知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是()A.l,m,且lmB.l,m,n,且lm,lnC.m,n,mn,且lmD.l,lm,且m答案D解析对于A,l,m,且lm,如图(1),不垂直;对于B,l,m,n,且lm,ln,如图(2),不垂直;图(1)图(2)对于C,m,n,mn,且lm,直线l没有确定,则,的关系也不能确定;对于D,l,lm,且m,则必有l,根据面面垂直的判定定理知,.5.在空间四边形ABCD中,ADBC,ADBD,且BCD是锐角三角形,则必有()A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BDCD.平面ABC平面BDC答案C解析ADBC,ADBD,BCBD=B,AD平面BDC.又AD平面ADC,平面ADC平面BDC.故选C.6.如图,已知ABC为直角三角形,其中ACB=90,M为AB的中点,PM垂直于ABC所在的平面,则()A.PA=PBPCB.PA=PBPCC.PA=PB=PCD.PAPBPC答案C解析M为AB的中点,ACB为直角三角形,BM=AM=CM.又PM平面ABC,RtPMBRtPMARtPMC,故PA=PB=PC.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC)解析PC在底面ABCD上的射影为AC,且ACBD,BDPC.当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.8.在四面体ABCD中,DA平面ABC,ABAC,AB=4,AC=3,AD=1,E为棱BC上一点,且平面ADE平面BCD,则DE=.答案135解析过A作AHDE,平面ADE平面BCD,且平面ADE平面BCD=DE,AH平面BCD,AHBC.又DA平面ABC,BC平面ABC,ADBC,BC平面ADE,BCAE.AE=345,AD=1,DE=135.9.设,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:.(用序号表示)答案(或)解析逐一判断.若成立,则m与的位置关系不确定,故错误;同理也错误;与均正确.10.如图,已知PA矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MNCD;(2)若PDA=45,求证:MN平面PCD.证明(1)连接AC,AN,BN,PA平面ABCD,AC平面ABCD,PAAC.在RtPAC中,N为PC的中点,AN=12PC.PA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC.又BCAB,PAAB=A,BC平面PAB.PB平面PAB,BCPB.在RtPBC中,BN为斜边PC上的中线,BN=12PC.AN=BN.ABN为等腰三角形.又M为AB的中点,MNAB.ABCD,MNCD.(2)连接PM,MC,PDA=45,PAAD,AP=AD.四边形ABCD为矩形,AD=BC,AP=BC.又M为AB的中点,AM=BM.PAM=CBM=90,PAMCBM.PM=CM.又N为PC的中点,MNPC.由(1)知,MNCD,又PCCD=C,MN平面PCD.11.如图,在RtABC中,ACB=90,BC=2AC=4,D,E分别是边AB,BC的中点,沿DE将BDE折起至FDE,且CEF=60.(1)求四棱锥F-ADEC的体积;(2)求证:平面ADF平面ACF.(1)解D,E分别是边AB,BC的中点,DE12AC,DEBC,DE=1.依题意,DEEF,BE=EF=2,EFEC=E,DE平面CEF,DE平面ACED,平面ACED平面CEF.作FMEC于M,则FM平面ACED,CEF=60,FM=3,梯形ACED的面积S=12(AC+ED)EC=12(1+2)2=3.四棱锥F-ADEC的体积V=13Sh=1333=3.(2)证法一如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQ12AC,NQDE,四边形DEQN是平行四边形,DNEQ.EC=EF,CEF=60,CEF是等边三角形,EQFC,又DE平面CEF,DEEQ,ACEQ,FCAC=C,EQ平面ACF,DN平面ACF,又DN平面ADF,平面ADF平面ACF.证法二连接BF,EC=EF,CEF=60,CEF是边长为2的等边三角形.BE=EF,EBF=12CEF=30,BFC=90,BFFC.DE平面BCF,DEAC,AC平面BCF.BF平面BCF,ACBF,又FCAC=C,BF平面ACF,又BF平面ADF,平面ADF平面ACF.12.如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图图(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为362,求a的值.(1)证明在题图中,因为ADBC,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,BAD=2,所以BEAC,四边形BCDE为平行四边形.所以在题图中,BEA1O,BEOC,BECD,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)知,A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图知,A1O=22AB=22a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=13SA1O=13a222a=26a3,由26a3=362,得a=6.二、能力提升13.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面,有下列命题:若mn,m,则n;若m,n,mn,则;若m,n是两条异面直线,m,n,m,n,则;若,=m,n,nm,则n.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析若mn,m,则n可能在平面内,故错误;m,mn,n.又n,故正确;过直线m作平面交平面于直线c,m,n是两条异面直线,设nc=O.m,m,=c,mc.m,c,c.n,c,nc=O,c,n,.故正确;,=m,n,nm,n.故正确.故正确命题有3个,故选C.14.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部答案A解析由BC1AC,又BAAC,则AC平面ABC1,因此平面ABC平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.15.如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC答案D解析由题意知,在四边形ABCD中,CDBD.在三棱锥A-BCD中,平面ABD平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD平面ABD,因此有ABCD.又因为ABAD,且CDAD=D,所以AB平面ADC,于是得到平面ADC平面ABC,故选D.16.如图,直线PA垂直于O所在的平面,ABC内接于O,且AB为O的直径,点M为线段PB的中点.下列结论:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是()A.B.C.D.答案B解析对于,PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB为O的直径,BCAC.BC平面PAC.又PC平面PAC,BCPC;对于,点M为线段PB的中点,AB为O的直径,OMPA.PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC;对于,由知BC平面PAC,线段BC的长即是点B到平面PAC的距离.故都正确.17.(2018北京六区一模)如图,在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=25,BC=4.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使得平面A1DE平面BCED,F为A1C的中点,如图.图图(1)求证:EF平面A1BD;(2)求证:平面A1OB平面A1OC;(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC平面EFG?说明理由.(1)证明取线段A1B的中点H,连接HD,HF.因为在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,所以DEBC,DE=12BC.因为H,F分别为A1B,A1C的中点,所以HFBC,HF=12BC,所以HFDE,HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边形,所以EFHD.因为EF平面A1BD,HD平面A1BD,所以EF平面A1BD.(2)证明在ABC中,因为D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,所以AD=AE.所以A1D=A1E.又O为DE的中点,所以A1ODE.因为平面A1DE平面BCED,且A1O平面A1DE,平面A1DE平面BCED=DE,所以A1O平面BCED.因为CO平面BCED,所以COA1O.在OBC中,BC=4,易知OB=OC=22,所以COBO.因为A1OBO=O,所以CO平面A1OB.因为CO平面A1OC,所以平面A1OB平面A1OC.(3)解在线段OC上不存在点G,使得OC平面EFG.假设在线段OC上存在点G,使得OC平面EFG.连接GE,GF,则必有OCGF,且OCGE.在RtA1OC中,由F为A1C的中点,OCGF,得G为OC的中点.在EOC中,因为OCGE,所以EO=EC,这显然与EO=1,EC=5矛盾.所以在线段OC上不存在点G,使得OC平面EFG.三、高考预测18.在四棱锥P-ABCD中,ABCD,AB=12DC=1,BP=BC=2,PC=2,AB平面PBC,F为PC的中点.(1)求证:BF平面PAD;(2)求证:平面ADP平面PDC;(3)求四棱锥P-ABCD的体积.(1)证明取PD的中点E,连接EF,AE.因为F为PC的中点,所以EF为PDC的中位线,即EFDC且EF=12DC.又ABCD,AB=12CD,所以ABEF且AB=EF.所以四边形ABFE为平行四边形,所以BFAE.又AE平面PAD,BF平面PAD,所以BF平面PAD.(2)证明因为BP=BC,F为PC的中点,所以BFPC.又AB平面PBC,ABCD,所以CD平面PBC.又BF平面PBC,所以DCBF.又DCPC=C,所以BF平面PDC.由(1)知,AEBF,所以AE平面PDC.又AE平面ADP,所以平面ADP平面PDC.(3)解因为AB平面PBC,AB平面ABCD,所以平面ABCD平面PBC且交线为BC.又BP=BC=2,PC=2,所以PBBC.所以PB平面ABCD,即PB是四棱锥的高.所以VP-ABCD=13SABCDPB=13(1+2)2122=1.
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