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课时规范练25平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.对任意平面向量a,b,下列关系式不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b22.已知a,b为单位向量,其夹角为60,则(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.23.(2017河南新乡二模)已知向量a=(1,2),b=(m,-4),若|a|b|+ab=0,则实数m等于()A.-4B.4C.-2D.24.(2017河南濮阳一模,文3)若向量BA=(1,2),CA=(4,5),且CB(BA+CA)=0,则实数的值为()A.3B.-92C.-3D.-535.在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.106.(2017河北唐山期末)设向量a与b的夹角为,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cos =()A.-35B.35C.55D.-2557.(2017河北邯郸二模,文4)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且ab,则|2a-b|a(a+b)等于()A.-53B.1C.2D.548.(2017北京,文7)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0,n0),若m+n1,2,则|OC|的取值范围是()A.5,25B.5,210)C.(5,10)D.5,210答案：1.BA项,设向量a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos |a|b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=|a|-|b|;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.B由已知,得|a|=|b|=1,a与b的夹角=60,则(2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos -|b|2=211cos 60-12=0,故选B.3.C设a,b的夹角为,|a|b|+ab=0,|a|b|+|a|b|cos =0,cos =-1,即a,b的方向相反.又向量a=(1,2),b=(m,-4),b=-2a,m=-2.4.CBA=(1,2),CA=(4,5),CB=CA+AB=CA-BA=(3,3),BA+CA=(+4,2+5).又CB(BA+CA)=0,3(+4)+3(2+5)=0,解得=-3.5.C依题意,得ACBD=1(-4)+22=0,ACBD.四边形ABCD的面积为12|AC|BD|=1212+22(-4)2+22=5.6.A向量a与b的夹角为,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),b=a+2b-a2=(2,1),cos =ab|a|b|=-4+155=-35.7.Ba=(m,2),b=(2,-1),且ab,ab=2m-2=0,解得m=1,a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又a+b=(3,1),a(a+b)=13+21=5,|2a-b|a(a+b)=55=1.8.Am,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若mn0,则两向量的夹角为(90,180,并不一定反向,即不一定存在负数,使得m=n,所以“存在负数,使得m=n”是“mn0”的充分而不必要条件.故选A.9.-23ab,ab=x+2(x+1)=0,解得x=-23.10.115由A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(2,2),得AB=(2,1),CD=(4,3),故向量AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|=24+1342+32=115.11.解 (1)ABAC=3BABC,cbcos A=3cacos B,即bcos A=3acos B,由正弦定理,得sin Bcos A=3sin Acos B.又0A+B0,cos B0,在等式两边同时除以cos Acos B,可得tan B=3tan A.(2)cos C=55,0C0,tan A=1.又角A为ABC的内角,A=4.12.Bn(tm+n),n(tm+n)=tmn+n2=t|m|n|12+|n|2=t13|n|2+|n|2=0,解得t=-3.故选B.13.C设a,b的夹角为,向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且(a-b)a=1,a2-ba=1,22-32cos =1,解得cos =12,a与b的夹角为3.故选C.14.D以C为坐标原点,CA为x轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),AB所在直线的方程为y=3-x.设M(a,3-a),N(b,3-b),且0a3,0b3,不妨设ab,MN=2,(a-b)2+(b-a)2=2,a-b=1,a=b+1,0b2,CMCN=(a,3-a)(b,3-b)=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3),0b2,当b=1时有最小值4;当b=0或b=2时有最大值6,CMCN的取值范围为4,6.15.(-2,6)以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),D(2,2),所以AM=14AB+mAC=14(4,0)+m(0,4)=(1,4m),则M(1,4m).点M在ACD的内部(不含边界),14m3,14m34,则AMBM=(1,4m)(-3,4m)=16m2-3,-216m2-36,故答案为(-2,6).16.3|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tan =7,0,得00,cos 0,tan =sincos,sin =7cos ,又sin2+cos2=1,得sin =7210,cos =210,OCOA=15,OCOB=1,OAOB=cos+4=-35,得方程组m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.17.B以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.18.BOA=(3,1),OB=(-1,3),OC=mOA-nOB=(3m+n,m-3n),|OC|=(3m+n)2+(m-3n)2=10(m2+n2),令t=m2+n2,则|OC|=10t,而m+n1,2,即1m+n2,在平面直角坐标系中表示如图所示,t=m2+n2表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离,分析可得22t2.又由|OC|=10t,故5|OC|210.
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