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第55练 向量法求解空间角和距离问题基础保分练1平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()A5B6C4D82在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为()A.B.CD3在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4B2C3D14方向向量为s(1,1,1)的直线l经过点A(1,0,0)，则坐标原点O(0,0,0)到该直线的距离是()A.B.C.D.5平面的一个法向量为n(1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A.B.C.D.6.如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为()A.B.C.D.7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且，N为B1B的中点，则|为()A.aB.aC.aD.a8P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为()A60B70C80D909三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长度分别为6,4,4，则其顶点到底面的距离为_10.如图所示，已知空间四边形OABC中OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_能力提升练1已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.B.C.D.2已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成的角的余弦值为()A.B.C.D.3已知空间向量a，b满足|a|b|1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足2ab，3ab，则OAB的面积为()A.B.C.D.4过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是()A30B45C60D905已知AOB90，过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA，OB分别成45，60角，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值为_6.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成角的余弦值是_答案精析基础保分练1A2.B3.B4.D5.B6.C7A以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上，且，则(xa，y，z)(x，ay，az)，得xa，y，z，即M，所以|a，故选A.8D不妨设PMa，PNb，作MEAB于E，NFAB于F.EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos60abcos45abcos45ab0，二面角AB的大小为90.9.解析设三棱锥为PABC，且PA6，PBPC4，以P为原点建立空间直角坐标系如图，则P(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,4)，(6,0,0)，(6,4,0)，(6,0,4)，设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以即yzx，所以可选平面ABC的一个法向量为n(2,3,3)，所以P到平面ABC的距离d|cos，n|.100解析设a，b，c，则|b|c|，a，ba，c，cb，a(cb)acab|a|c|cos|a|b|cos0，cos，0.能力提升练1B设A1在底面ABC内的射影为O，过O作OHBC交AB于点H，以O为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)设ABC的边长为1，则A，B1，平面ABC的法向量n(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值sin|cos，n|.2C3B|，同理|，则cosAOB，从而有sinAOB，OAB的面积S，故选B.4B建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，易得平面APB的一个法向量为n1(0,1,0)，平面PCD的一个法向量为n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为，故所求二面角的大小是45.56.
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