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组合增分练6解答题组合练B1.已知点P(3,1),Q(cos x,sin x),O为坐标原点,函数f(x)=OPQP.(1)求函数f(x)的最小值及此时x的值;(2)若A为ABC的内角,f(A)=4,BC=3,ABC的面积为334,求ABC的周长.2.已知函数f(x)=cosx-3-cos x(xR,为常数,且12),函数f(x)的图象关于直线x=对称.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f35A=12,求ABC面积的最大值.3.环境空气质量标准中规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如表:组别PM2.5浓度(微克/立方米)频数(天)频率第一组(0,2530.15第二组(25,50120.6第三组(50,7530.15第四组(75,10020.1(1)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;(2)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.求图中a的值;求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.4.某校为指导学生合理选择文理科的学习,根据数理综合测评成绩,按6分为满分进行折算后,若学生成绩小于m分则建议选择文科,不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生).现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合成绩作为样本,整理得到分数的频率分布直方图(如图所示).(1)求直方图中的t值;(2)根据此次测评,为使80%以上的学生选择理科,成绩m至多定为多少?(3)若m=4,试估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩.(精确到0.01)5.已知函数f(x)=x-mln x-m-1x(mR),g(x)=12x2+ex-xex.(1)当x1,e时,求f(x)的最小值;(2)当m2时,若x1e,e2,使得x2-2,0,f(x1)g(x2)成立,求实数m的取值范围.6.设a,bR,|a|1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间.(2)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;若关于x的不等式g(x)ex在区间x0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范围.组合增分练6答案1.解 (1)由题意,OP=(3,1),QP=(3-cos x,1-sin x),f(x)=OPQP=3-3cos x+1-sin x=4-2sinx+3,当x=6+2k,kZ时,f(x)取得最小值2.(2)f(A)=4,即4-2sinA+3=4,可得A+3=k,kZ,0A,A=23.BC=3,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos23,即9=(b+c)2-bc.又ABC的面积为334,即13bcsin A=334,可得bc=3,那么b+c=23,故得ABC的周长为a+b+c=23+3.2.解 (1)f(x)=cosx-3-cos x=32sin x-12cos x=sinx-6,由函数f(x)的图象关于直线x=对称,可得x-6=k+2(kZ),=k+23(kZ).(1,2),k=1,=53,f(x)=sin53x-6,则函数f(x)最小正周期T=253=65.(2)由(1)知f35A=sinA-6=12,0A,-6A-635,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.4.解 (1)根据频率分布直方图中频率和为1,得0.151+t1+0.301+t1+0.151=1,解得t=0.2.(2)使80%以上的学生选择理科,则0.15+0.2+0.30.80),得f(x)=1-mx+m-1x2=(x-1)x-(m-1)x2,当m2时,f(x)在1,e上f(x)0,f(x)是递增函数,f(x)min=f(1)=2-m.当me+1时,f(x)在1,e上f(x)0,f(x)是递减函数,f(x)min=f(e)=e-m-m-1e.当2me+1时,f(x)在1,m-1上f(x)0,在m-1,e上f(x)0,f(x)min=f(m-1)=m-2-mln(m-1).(2)已知等价于f(x1)ming(x2)min,由(1)知当m2时,f(x)在e,e2上f(x)0,f(x)min=f(e)=e-m-m-1e,而g(x)=x+ex-(x+1)ex=x(1-ex),当x2-2,0,g(x2)0,g(x2)min=g(0)=1,m2,e-m-m-1e1,故实数m的取值范围是e2-e+1e+1,2.6.(1)解 由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令f(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|1,得a0,可得f(x)1.又因为f(x0)=1,f(x0)=0.故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|1,故a+14-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,故当x0=a时,f(x)f(a)=1在a-1,a+1上恒成立,从而g(x)ex在x0-1,x0+1上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1a1.令t(x)=2x3-6x2+1,x-1,1,所以t(x)=6x2-12x,令t(x)=0,解得x=2(舍去)或x=0.因为t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域为-7,1.所以,b的取值范围是-7,1.
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