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第三节椭圆突破点一椭圆的定义和标准方程1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)若ac，则集合P为椭圆(2)若ac，则集合P为线段(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是1(ab0)，焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是1(ab0)，焦点为F1(0，c)，F2(0，c)，其中c2a2b2.一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()答案：(1)(2)(3)二、填空题1已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是_答案：42如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_答案：(6，2)(3，)3已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为_答案：1考法一椭圆的定义及应用例1(1)(2019衡水调研)已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2019齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆1(a2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若F1PF260，那么PF1F2的面积为()A. B.C. D.解析(1)由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，故选D.(2)设|PF1|m，|PF2|n，则cos 60，化简得，3mn4(a2c2)4b2，b24，mn，SPF1F2mnsin 60.故选D.答案(1)D(2)D方法技巧椭圆焦点三角形中的常用结论以椭圆1(ab0)上一点P(x0，y0)(y00)和焦点F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的 PF1F2中，若F1PF2，则(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .(3) SPF1F2|PF1|PF2|sin ，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值为bc.(4)焦点三角形的周长为2(ac) 考法二椭圆的标准方程例2(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2019武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为_解析(1)设F为椭圆的右焦点，连接PF，在POF中，由余弦定理，得cosPOF，则|PF|8，由椭圆定义，知2a4812，所以a6，又c2，所以b216.故椭圆C的方程为1.(2)椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，可设椭圆方程为1(ab0)，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，又a2b2c2，a2，b，c，椭圆方程为1.答案(1)C(2)1方法技巧待定系数法求椭圆方程的思路1.已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B由题意可得，2a6，解得a3，c1，则b，所以椭圆C的方程为1.故选B.2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A依题意设椭圆G的方程为1(ab0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，2a12，a6，椭圆的离心率为，e ，即，解得b29，椭圆G的方程为1，故选A.3.P为椭圆1上一点，F1，F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P点作PHF1F2于点H，若PF1PF2，则|PH|()A. B.C8 D.解析：选D由椭圆1得a225，b29，则c4，|F1F2|2c8.由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a10，PF1PF2，|PF1|2|PF2|282.2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2(|PF1|2|PF2|2)1006436，|PF1|PF2|18.又SPF1F2|PF1|PF2|F1F2|PH|，|PH|.故选D.突破点二椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性 质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()答案：(1)(2)(3)二、填空题1若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_答案：2椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_答案：(0，)3已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(5,4)，则椭圆的方程为_答案：1考法一椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围例1(1)(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A.B.C. D.(2)(2019江西临川二中、新余四中联考)已知F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，若ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是()A(0，1) B(1,1)C(0，1) D(1,1)解析(1)如图，作PBx轴于点B.由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1.由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tan PAB，解得a4，所以e.(2)F1，F2分别是椭圆1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B上下两点，F1(c,0)，F2(c,0)，A，B，ABF2是锐角三角形，AF2F145，tanAF2F11，1，整理得b22ac，a2c22ac，两边同时除以a2，并整理，得e22e10，解得e1或e1(舍去)，0e1，椭圆的离心率e的取值范围是(1,1)，故选B.答案(1)D(2)B方法技巧1求椭圆离心率的3种方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率提醒在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根2求椭圆离心率范围的2种方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆1(ab0)上一点，则|x0|a，ac|PF1|ac等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直接法根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式题设条件直接有不等关系考法二与椭圆性质有关的最值范围问题例2(1)(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0， 9，)C(0,14，) D(0， 4，)(2)(2019合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为_解析(1)当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得0m1.当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)(2)由题意知a2，因为e，所以c1，b2a2c23.故椭圆方程为1.设P点坐标为(x0，y0)所以2x02，y0.因为F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以xx02yxx01(x02)2.则当x02时，取得最大值4.答案(1)A(2)4方法技巧与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围提醒求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系1.已知椭圆1(ab0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若0，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选D由题意知，M(a,0)，N(0，b)，F(c,0)，(a，b)，(c，b)0，acb20，即b2ac.又b2a2c2，a2c2ac.e2e10，解得e或e(舍去)椭圆的离心率为，故选D.2.如图，F1，F2是双曲线C1：x21与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的交点，若|F1F2|F1A|，则C2的离心率是()A. B.C. D.解析：选C设椭圆的长半轴长为a.由题意可知，|F1F2|F1A|6，|F1A|F2A|2，|F2A|4，|F1A|F2A|10，2a10，C2的离心率是.故选C.3.已知椭圆C：y21的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0y1，则|PF1|PF2|的取值范围是_解析：由点P(x0，y0)满足0y1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a，b1，所以由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a2，当P(x0，y0)与F1或F2重合时，|PF1|PF2|2，又|PF1|PF2|F1F2|2，故|PF1|PF2|的取值范围是2,2)答案：2,2)
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