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专题对点练22直线与圆及圆锥曲线1.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.2.(2018全国,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k0),AMN的面积为S,求Sk的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=23,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PAPB的取值范围.5.已知点N(-1,0),F(1,0)为平面直角坐标系内两定点,点M是以N为圆心,4为半径的圆上任意一点,线段MF的垂直平分线交MN于点R.(1)点R的轨迹为曲线E,求曲线E的方程;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与曲线E交于P,Q两点,请问:是否存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.6.(2018天津,文19)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,|AB|=13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k0,即m-1时,x1,2=22m+1.从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2;由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.3.解 (1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=3,所以椭圆的方程为x24+y23=1(x-2).(2)设点M坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入x24+y23=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.A(-2,0)在椭圆x24+y23=1上,x0(-2)=16k2-123+4k2,则x0=6-8k23+4k2,|AM|=1+k26-8k23+4k2+2=1+k2123+4k2.同理|AN|=1+1k212k23k2+4.所以S=12|AM|AN|=121+k2123+4k21+1k212k23k2+4.Sk=72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3),令k2+1=t1,Sk=72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3)=72t(4t-1)(3t+1)=7212t+1-1t,所以Sk(0,6).4.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离,即r=41+3=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=|m|5,所以m25+(3)2=22,即m=5.所以直线MN的方程为2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得(x+2)2+y2(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因为PAPB=(-2-x,-y)(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故x2+y24,x2-y2=2.由此得y2|NF|,R的轨迹是以N,F为焦点的椭圆,a=2,c=1,b=3,曲线E的方程为x24+y23=1;(2)抛物线C的顶点在坐标原点,F为其焦点,抛物线的方程为y2=4x,假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点,则|AF|=12|FB|.直线l斜率显然存在,设方程为y=k(x-1)(k0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线代入抛物线方程,整理可得ky2-4y-4k=0,y1+y2=4k,y1y2=-4,|AF|=12|FB|,y2y1=-2,由解得k=22.k=22时,直线l的方程为y=22(x-1),解得A12,-2,B(2,22).直线与椭圆方程联立解得P25,-625,A107,627.yB2yQ,Q不是FB的中点,即A,F,Q不是线段PB的四等分点.同理可得k=-22时,A,F,Q不是线段PB的四等分点,不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.6.解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59.又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为x29+y24=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2x10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程组x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89,或k=-12.当k=-89时,x2=-90,不合题意,舍去;当k=-12时,x2=12,x1=125,符合题意.所以,k的值为-12.
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