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课时规范练54坐标系与参数方程基础巩固组1.已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.2.(2017辽宁大连一模,文22)已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为=4cos ,直线l的参数方程为x=1-255t,y=1+55t(t为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)若曲线C2的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数),曲线C1上点P的极角为 4,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.3.(2017安徽马鞍山一模,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cos,y=1+sin(为参数,R),在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:sin- 4=2.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.4.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是x=tcos,y=tsin(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.5.在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcos,y=tsin(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=23cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.导学号24190956综合提升组6.(2017山西临汾三模,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3sin-cos,y=3-23sincos-2cos2(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为sin- 4=22m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.7.(2017山西太原二模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cos,y=sin(其中为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为(tan cos -sin )=1为常数,0,且 2,点A,B(A在x轴下方)是曲线C1与C2的两个不同交点.(1)求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程;(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.8.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin+ 4=22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.导学号24190957创新应用组9.(2017辽宁沈阳三模,22)已知曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换x=12x,y=13y得到曲线C,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)若过点A32, (极坐标)且倾斜角为 6的直线l与曲线C交于M,N两点,弦MN的中点为P,求|AP|AM|AN|的值.10.(2017河北邯郸二模,文22)在极坐标系中,已知三点O(0,0),A2, 2,B22, 4.(1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为x=-1+acos,y=-1+asin(是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.答案：1.解(1)曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d=55|4cos +3sin -6|,则|PA|=dsin30 =255|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =43.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.2.解 (1)曲线C1的极坐标方程为=4cos ,即2=4cos ,可得直角坐标方程:C1:x2+y2-4x=0.直线l的参数方程为x=1-255t,y=1+55t(t为参数),消去参数t可得普通方程:x+2y-3=0.(2)P22, 4,直角坐标为(2,2),Q(2cos ,sin ),M1+cos,1+12sin,M到l的距离d=|1+cos+2+sin-3|5=105sin+ 4105,从而最大值为105.3.解 (1)由x=cos,y=1+sinx=cos,y-1=sinx2+(y-1)2=1,由sin- 4=222sin -22cos =2y-x=2,即C2:x-y+2=0.(2)直线x-y+2=0与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,又x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为1,故圆心到直线的距离d=|0-1+2|12+(-1)2=22,|AB|=212-222=2.4.解 (1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程2+12cos +11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=(1+2)2-412=144cos2-44.由|AB|=10得cos2=38,tan =153.所以l的斜率为153或-153.5.解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.联立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0,解得x=0,y=0或x=32,y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32,32.(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0.因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(23cos ,).所以|AB|=|2sin -23cos |=4sin- 3.当=56时,|AB|取得最大值,最大值为4.6.解 (1)曲线C1的参数方程为x=3sin-cos,y=3-23sincos-2cos2,消去参数,可得y=x2(-2x2),由sin- 4=22m,得22sin -22cos =22m,所以曲线C2的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)由y=x2,x-y+m=0,可得x2-x-m=0,曲线C1与曲线C2有公共点,m=x2-x=x-122-14.-2x2,-14m6.7.解(1)曲线C1的参数方程为x=2cos,y=sin(其中为参数),普通方程为x24+y2=1;曲线C2的极坐标方程为(tan cos -sin )=1,直角坐标方程为xtan -y-1=0.(2)C2的参数方程为x=tcos,y=-1+tsin(t为参数),代入x24+y2=1,得14 cos2+sin2t2-2tsin =0,t1+t2=2sin14cos2+sin2,|AB|=2sin14cos2+sin2=83sin+1sin,0,且 2,sin (0,1),|AB|max=433,此时B的坐标为433,13.8.解 (1)C1的普通方程为x23+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=|3cos+sin-4|2=2sin+ 3-2.当且仅当=2k+ 6(kZ)时,d()取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为32,12.9.解 (1)C:x=2cos,y=3sinx24+y23=1,x=12x,y=13yx=2x,y=3y,代入C的普通方程可得x2+y2=1,因为2=x2+y2,所以曲线C的极坐标方程为C:=1.(2)点A32, 的直角坐标是A32,0,将l的参数方程x=-2+tcos 6,y=tsin 6代入x2+y2=1,可得4t2-63t+5=0,t1+t2=332,t1t2=54,|AP|AM|AN|=t1+t22|t1t2|=335.10.解 (1)将O,A,B三点化成直角坐标为O(0,0),A(0,2),B(2,2).圆C1的圆心为(1,1),半径为2,圆C1的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,将x=cos,y=sin代入普通方程得2-2cos -2sin =0,=22sin+ 4.(2)圆C2的参数方程为x=-1+acos,y=-1+asin(是参数),圆C2的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2.圆C2的圆心为(-1,-1),半径为|a|.圆C1与圆C2外切,22=2+|a|,解得a=2.
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