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专题03 导数与应用一、选择题1. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数， 的图象相切，则必满足（ ）A B C D 【答案】D2. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为( )A B C D【答案】D【解析】，解得，解得，在递增，而， 5. 【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数，若成立，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】设，则，令，则，是上的增函数，又，当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值， 3. 【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】因为，所以函数在区间上单调递增，且所以当时，与有一个公共点；当时，令，即有一个解即可.设，则得.因为当时，当时，所以当时，有唯一的极小值，即有最小值，所以当时，有一个公共点.综上，实数的取值范围是. 当时，又在上单调递减，所以在上恒成立，则在上单调递减，又，所以在上恒成立.当时，又在上单调递减，所以存在，使得，所以在上，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立不可能.综上所述， .3. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调】已知函数（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时，【答案】（1），没有零点，存在唯一的零点；（2）证明见解析.【解析】（1）定义域为，的零点个数与的交点个数，时，无交点，时，有1个交点，时，无交点（2）由（1）时，存在唯一，使，即，且时，单调递减，时，单调递增，当时，4. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】已知函数（），.（1）当在处的切线与直线垂直时，方程有两相异实数根，求的取值范围；（2）若幂函数的图象关于轴对称，求使不等式在上恒成立的的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题设可得，令（）则令得.递减极小值递增，且有两个不等实根，即又，即时，.所以在内单调递增，所以，即时，由在内单调递增，且，.使得.递减极小值递增所以的最小值为.又，所以.因此，要使当时，恒成立，只需，即即可.解得，此时，可得，以下求出的取值范围. 在上单调递增，从而，不符合题意若，当时，在上单调递增，在上单调递增，,从而在上，不符合题意；若，则在上恒成立，在上单调递减，在上单调递减， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减.且当时，当时，要使有两个不同的根，必有，解得实数的取值范围是.，又，令，则， 9. 【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】已知函数(其中，是自然对数的底数).(1)若，当时，试比较与2的大小；(2)若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：.【答案】（1）（2）见解析（2）函数有两个极值点，则是的两个根，即方程有两个根，设，则，当时，函数单调递增且；当时，函数单调递增且；当时，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需，如图所示故实数的取值范围是又由上可知函数的两个极值点满足，由得. 由于，故，所以10. 【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）（2）由题意得， 所以. 由，解得， 故当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 又， 结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点， 则解得. 所以实数的取值范围为.11. 【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】（1） （2）见解析（2）因为，所以，. 令，则. 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以，即当时， 所以在上单调递减.又因为所以当时，当时， 于是对恒成立.12. 【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数， 令.（）当时，求函数的单调递增区间；（）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）；（2）.当时，.令得，所以当时， ；当时， .因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，.又因为在上是减函数，所以当时， .所以整数的最小值为2.13. 【河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试】已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.【答案】（1） （2）见解析（2）由题得，则因为有两个极值点，所以欲证等价于证，即，所以因为，所以原不等式等价于.由可得，则.由可知，原不等式等价于，即设，则，则上式等价于.令，则因为，所以，所以在区间上单调递增，所以当时，即，所以原不等式成立，即.14. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知函数，其中为自然对数的底数讨论函数的极值；若，证明：当，时，【答案】（1）时，时，函数取得极小值；时，函数取得极大值；时，无极值；（2）证明见解析.证明：当，时，只要证明即可，由可知：在内单调递减，令，函数在上单调递减，因此结论成立15. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】已知函数,（，为自然对数的底数）（1）试讨论函数的极值情况；（2）当且时，总有【答案】(1) 当时, 无极值; 当时, 极大值为，无极小值.(2)见解析.（2）当时，设函数，则，记，则当变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由上表可知而由，知所以所以，即所以在内为单调递增函数.所以当时，即当且时，所以当且时，总有.16. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知函数（，）.（1）如果曲线在点处的切线方程为，求、值；（2）若，关于的不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围.【答案】（1）（2）.（2）当时，关于的不等式的整数解有且只有一个.等价于关于的不等式的整数解有且只要一个，构造函数，所以.当时，因为，所以，又，所以，所以在内单调递增.因为，所以在上存在唯一的整数使得，即.当时，为满足题意，函数在内不存在整数使，即在上不存在整数使.因为，所以.当时，函数，所以在内为单调递减函数，所以，即；当时，不符合题意.综上所述，的取值范围为.17. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于的方程有两解，证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）要证，只需证.设 ，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证.（*）又，所以两式相减，并整理，得.把代入（*）式，得只需证，可化为.令，得只需证.令（），则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.18. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】（1）的取值范围为；（2）.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.19. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析见解析.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而 .当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.20. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.（2）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“， 恒成立”.即可转化为恒成立.令，则只需在恒成立即可，当时，在时， ，在时， 的最小值为，由得，故当时， 恒成立，当时， ， 在不能恒成立，当时，取，有， 在不能恒成立，综上所述，即时，至少有一个，使成立.21. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试】已知函数的最大值为，的图像关于轴对称.（1）求实数， 的值.（2）设，则是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）， .（2）见解析.（2）由（1）知，则，所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增，所以恒成立，所以函数在区间内单调递增.假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令， ，则，设， ，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是.22. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；（2）证明：当且时，总有.【答案】(1) 在处取得极大值，且极大值为，无极小值.(2)见解析.故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.当变化时，的变化情况如下表：由上表可知，而 ，由，知，所以，所以，即.所以在内为单调递增函数.所以当时，.即当且时， .所以当且时，总有.证法二：当时， .因为且，故只需证.当时，成立；
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