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第1讲直线与圆考情考向分析高考考查重点是求直线和圆的方程、直线间的平行和垂直关系、距离、直线与圆的位置关系，此类问题难度属于中档，偶尔出现解答题其中直线方程和圆的标准方程与一般方程是C级要求热点一直线、圆的方程例1(1)在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2y25交于A，B两点，其中点A在第一象限，且2，则直线l的方程为_答案xy10解析方法一易知l的斜率必存在，设l：yk(x1)由2，可设BM2t，MAt，如图，过原点O作OHl于点H，则BH.设OHd，在RtOBH中，d22r25，在RtOMH中，d22OM21，解得d2.所以d2，解得k1或k1，因为点A在第一象限，2，由图知k1，所以l：xy10.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(1x2，y2)，(x11，y1)因为2，所以有即又代入可得解得x12，代入可得y11，又点A在第一象限，故A(2,1)，由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为xy10.(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为_答案(x1)2y24解析由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，则解得圆M的方程为(x1)2y24.思维升华求具备一定条件的直线或圆的方程时，其关键是寻找确定直线或圆的两个几何要素，待定系数法也是经常使用的方法，解题时要注意平面几何知识的应用跟踪演练1(1)过点P(4,0)的直线l与圆C：(x1)2y25相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为_答案x3y40解析设AB的中点为D，则CDAB，设CDd，ADx，则PAAB2x，在RtACD中，由勾股定理得d2x2r25，在RtPDC中，由勾股定理得d29x2CP225，由解得d2.易知直线l的斜率一定存在，设为k，则l：yk(x4)，圆心C(1,0)到直线l的距离为d，解得k2，k，所以直线l的方程为y(x4)，即为x3y40.(2)若圆上一点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10相交的弦长为2，则圆的方程为_答案(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244解析设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x2y0上，即a2b0，且(2a)2(3b)2r2.而圆与直线xy10相交的弦长为2，故r222，由，解得或所以所求圆的方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.热点二直线与圆、圆与圆的位置关系例2(2018江苏仪征中学检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y24x0及点A， B.(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MNAB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2PB212 ？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由解(1)圆C的标准方程为2y24，所以圆心C，半径为2.因为lAB, A， B，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为xym0, 则圆心C到直线l的距离为d.因为MNAB2，而CM2d22，所以42, 解得m0或m4，故直线l的方程为xy0或xy40.(2)假设圆C上存在点P，设P，则2y24，PA2PB2222212，即x2y22y30，即x224, 因为22，所以圆2y24与圆x224相交，所以点P的个数为2.思维升华(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法：几何法：利用d与r的关系；代数法：联立方程之后利用判断；点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交(2)判断圆与圆的位置关系，一般用几何法，其步骤为：确定两圆的圆心坐标和半径长；利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，r1r2，|r1r2|；比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论跟踪演练2(1)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若AB2，则圆C的面积为_答案4解析圆C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圆心为C(0，a)，半径r，C到直线yx2a的距离d.又由AB2，得22a22，解得a22，所以圆C的面积为(a22)4.(2)(2018苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x1)2y22，点A(2,0)，若圆C上存在点M，满足MA2MO210，则点M的纵坐标的取值范围是_答案解析设点M(x，y)，因为MA2MO210，所以(x2)2y2x2y210, 即x2y22x30，因为(x1)2y22，所以y22(x1)2，所以x22(x1)22x30，化简得x.因为y22(x1)2，所以y2，所以y.热点三 直线、圆的综合问题例3如图所示，已知圆A的圆心在直线y2x上，且该圆存在两点关于直线xy10对称，又圆A与直线l1：x2y70相切，过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN2时，求直线l的方程；(3)()是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由解(1)由圆存在两点关于直线xy10对称知圆心A在直线xy10上由得A(1,2)，设圆A的半径为R，圆A与直线l1：x2y70相切，R2，圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0，连结AQ，则AQMN，MN2，AQ1.由AQ1，得k，直线l的方程为3x4y60，所求直线l的方程为x2或3x4y60.(3)AQBP，0，()22()2；当直线l与x轴垂直时，得P，则，又(1,2)，()210；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)，由解得P，()2210，综上所述，()为定值10.思维升华直线、圆的综合问题包括和圆有关的定点定值问题、范围问题及探究性问题解决的基本思路有两种：代数法和几何法，解题时要注意充分利用方程、向量及图形的特征跟踪演练3(2016江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解(1)圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6,7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0)且b5.解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.又BCOA2.由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d2.即2，解得m5或m15.直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)由，则四边形AQPT为平行四边形，又P，Q为圆M上的两点，PQ2r10.TAPQ10，即10，解得22t22.故所求t的取值范围为22，221(2018江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_答案3解析设A(a,2a)，则a0.又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x5)(xa)y(y2a)0.由题意知C.由解得或D(1,2)又0，(5a，2a)，(5a，2a)a25a0，解得a3或a1.又a0，a3.2圆心在直线y4x上，且与直线xy10相切于点P(3，2)的圆的标准方程为_答案(x1)2(y4)28解析方法一设圆心为(a，4a)，则有r，解得a1，r2，则圆的方程为(x1)2(y4)28.方法二过点P(3，2)且垂直于直线xy10的直线方程为xy50，联立方程组解得则圆心坐标为(1，4)，半径为r 2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.3(2018江苏省南京师大附中模拟)已知直线xyb0与圆x2y29交于不同的两点A，B.若O是坐标原点，且|，则实数b的取值范围是_答案(3，3)解析设AB的中点为D，则2，故|，即22，再由直线与圆的弦长公式可得，AB2(d为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故dr，得3，所以3b0，8a35，a1.故圆M的方程为2y21.(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2，则直线AC的方程为yk1xt，直线BC的方程为yk2xt6.由方程组得C点的横坐标为x0.ABt6t6，S6，圆M与AC相切，1，k1，同理， k2，k1k2，S6，5t2，2t31，8t26t14，Smax6，Smin6，ABC的面积S的最大值为，最小值为.A组专题通关1直线过点(5,4)且与坐标轴正半轴围成的三角形面积为5，则此直线方程为_答案2x5y100解析设所求直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则直线方程为1，a0，b0.依题意有解得故所求直线方程为2x5y100.2已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是_答案(x5)2y25解析设圆心为(a,0)(a0)，则r，解得a5.所以圆O的方程是(x5)2y25.3在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_答案解析圆心为点(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22 .4已知点P(t,2t)(t0)是圆O：x2y21内一点，直线tx2tym与圆O相切，则直线xym0与圆O的位置关系是_答案相交解析由点P(t,2t)(t0)是圆O：x2y21内一点，得|t|1.因为直线 tx2tym圆O相切，所以1，所以|m|1.又圆O：x2y21的圆心O(0,0)到直线xym0的距离d1r.所以位置关系为“相交”5过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为_答案4解析圆的标准方程为(x3)2(y4)25，可知圆心为C(3,4)，半径为.如图可知，CO5，OP2.设OC与PQ的交点为M，在RtPOC中，OCPMOPPC，PM2.PQ2PM4.6(2018无锡期末)过圆x2y216内一点P(2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD，且ABCD，则四边形ACBD的面积为_答案19解析根据题意画图，连结OP，OA ，过O 作OEAB ，OFCD ，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，又ABCD ，ABCD ，四边形EPFO 为正方形，由圆的方程得圆心O(0,0)，半径r4 ，OP223213，OE2 AE2OA2OE216，AE，ABCD，S四边形ACBDABCD19.7若O1：x2y25与O2：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_答案4解析由题意知O1(0,0)，O2(m,0)，且|m|3，又O1AAO2，m2()2(2)225，m5，AB24.8已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为_答案54解析由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求PC1PC2的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(PC1PC2)minC1C25.所以(PMPN)min54.9已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_答案xy30解析由题意，设所求的直线方程为xym0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知，22(a1)2，解得a3或1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a3，故圆心坐标为(3,0)因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以30m0，即m3，故所求的直线方程为xy30.10已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求MN.解(1)由题设可知，直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.x1,2，x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以MN2.B组能力提高11圆心M在曲线y218x上，圆M与y轴相切且与圆C：(x2)2(y3)21外切，则圆M的方程为_答案2(y3)2或(x2)2(y6)24解析设圆M：(xa)2(yb)2r2，b218a，r|a|，a，r，圆心C(2,3)，rc1，又圆M与圆C外切，则MCrrc，即r1，即 1，解得b3或b6.圆M的方程为2(y3)2或(x2)2(y6)24.12已知以O为圆心的圆与直线l：ymx(34m)(mR)恒有公共点，且要求圆O的面积最小，则圆O的方程为_答案x2y225解析因为直线l：ymx(34m)过定点T(4,3)，由题意知，要使圆O的面积最小， 定点T(4,3)在圆上，所以圆O的方程为x2y225.13已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么的最小值为_答案32解析如图所示，设PAPBx(x0)，APO，则APB2，PO，sin .|cos 2x2(12sin2)，令y，则y，即x4(1y)x2y0.因为x2是实数，所以(1y)241(y)0，y26y10，解得y32或y32.又因为x20，所以所以y.故()min32.14(2018江苏省如皋中学月考)已知圆O：x2y24.(1)直线l1：xy20与圆O相交于A，B两点，求弦AB的长度；(2)如图，设M， P是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1，PM2与y轴分别交于和，问mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解(1)由于圆心到直线l1：xy20的距离d.圆的半径r2，所以AB22.(2)由于M(x1，y1)，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，可得M1，M2，由M(x1，y1)，P(x2，y2)是圆O上的两个动点，可得xy4, xy4.直线PM1的方程为，令x0，求得ym.直线PM2的方程为，令x0，求得yn.mn 4.故mn为定值
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