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第一节直线与方程突破点一直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，)2直线的斜率公式(1)定义式：若直线l的倾斜角，则斜率ktan_.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2. 当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、填空题1过点M(1，m)，N(m1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为_答案：12若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为_答案：3(2019湖南百所中学检测)若直线l1：axy10与l2：3x(a2)y10平行，则a的值为_答案：14直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是_答案：考法一直线的倾斜角与斜率1直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kktan 0k0ktan 0不存在倾斜角锐角0钝角902在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数ktan 的单调性，如图所示：(1)当取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；(2)当取值在内，由增大到()时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想例1(1)(2019江西五校联考)已知直线l与两条直线y1，xy70分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，1)，那么直线l的斜率是()A.B.C D(2)(2019张家口模拟)直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析(1)设P(a,1)，Q(b，b7)，则解得所以P(2,1)，Q(4，3)，所以直线l的斜率k，故选C.(2)直线l的斜率ktan m211，所以.答案(1)C(2)C方法技巧求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)考法二两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；两直线垂直两直线的斜率之积为1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合例2(1)(2019武邑中学月考)已知过两点A(3，m)，B(m,5)的直线与直线3xy10平行，则m的值为()A3 B7C7 D9(2)(2019安徽六安四校联考)设mR，则“m0”是“直线l1：(m1)x(1m)y10与直线l2：(m1)x(2m1)y40垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)由题可知，3，解得m7，故选C.(2)由直线l1与l2垂直可得(m1)(m1)(1m)(2m1)0，解得m0或m1.所以“m0”是“直线l1：(m1)x(1m)y10与直线l2：(m1)x(2m1)y40垂直”的充分不必要条件故选A.答案(1)C(2)A方法技巧由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0) l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)提醒当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件1.已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45，则m()A3 B3C5 D1解析：选A直线过A(2,4)，B(1，m)两点，直线的斜率为4m.又直线的倾斜角为45，直线的斜率为1，即4m1，m3.故选A.2.已知倾斜角为的直线l与直线x2y30垂直，则cos 2的值为()A. BC. D解析：选B由题意得tan 1，tan 2，cos 2，故选B.3.若直线l1：ax(a1)y10与直线l2：2xay10垂直，则实数a()A3 B0C3 D0或3解析：选D直线l1与直线l2垂直，2aa(a1)0，整理得a23a0，解得a0或a3.故选D.4.设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分必要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40的斜率都是，截距不相等，两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得，解得a2或a1，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件故选C.突破点二直线的方程直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率kyy0k(xx0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率kykxb与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面直角坐标系内所有直线一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示()(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(3)不经过原点的直线都可以用1表示()答案：(1)(2)(3)二、填空题1过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_答案：4x3y0或xy102(2019开封模拟)过点A(1，3)，斜率是直线y3x斜率的的直线方程为_答案：3x4y1503已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k，故BC边上的中线所在直线方程为y，即x13y50.答案：x13y50考法一求直线方程例1(2019湖北十堰模拟)已知菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(4,7)，C(6，5)，BC边所在直线过点P(8，1)求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程解(1)kBC2，ADBC，kAD2.AD边所在直线的方程为y72(x4)，即2xy150.(2)kAC.菱形的对角线互相垂直，BDAC，kBD.AC的中点(1,1)，也是BD的中点，对角线BD所在直线的方程为y1(x1)，即5x6y10.方法技巧求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)考法二与直线方程有关的最值问题例2(1)已知直线xa2ya0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是()A0B2C. D1(2)若直线x2yb0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A2,2 B(，22，)C2,0)(0,2 D(，)解析(1)直线xa2ya0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a2，当且仅当a1时，等号成立故当直线xa2ya0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.(2)令x0，得y，令y0，得xb，所以所求三角形面积为|b|b2，且b0，因为b21，所以b24，所以b的取值范围是2,0)(0,2答案(1)D(2)C方法技巧与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y；(2)将问题转化成关于x(或y)的函数；(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值1.已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是()A3xy60 Bx3y100C3xy0 Dx3y80解析：选A设直线l的方程为1(a0，b0)由题意得解得a2，b6.故直线l的方程为1，即3xy60.故选A.2.过点M(3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_解析：当直线过原点时，直线方程为yx；当直线不过原点时，设直线方程为1(a0)，即xya(a0)，把(3,5)代入，得a8，所以直线方程为xy80.故所求直线方程为yx或xy80.答案：yx或xy803.已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.解析：直线l1可写成a(x2)2(y2)，直线l2可写成2(x2)a2(2y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42.当a时，面积最小答案：突破点三直线的交点、距离与对称问题1两条直线的交点2三种距离类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两平行直线间的距离两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(2)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(4)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()答案：(1)(2)(3)(4)二、填空题1已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a的值为_答案：12若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为_答案：3当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第_象限答案：二4(2018忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为_答案：2xy30考法一距离问题例1(2019北京西城期中)已知直线l经过点P(2，1)(1)若点Q(1，2)到直线l的距离为1，求直线l的方程；(2)若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程解(1)当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为x2，符合要求；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2)，整理得kxy2k10，Q(1，2)到直线l的距离d1，解得k，所以直线l的方程为4x3y50.(2)由题知，直线l的斜率k一定存在且k0，故可设直线l的方程为kxy2k10，当x0时，y2k1，当y0时，x，2k1，解得k1或，即直线l的方程为x2y0或xy10.方法技巧1解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在2求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题 考法二对称问题例2已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，由题意知解得所以A.(2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又因为m经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90.方法技巧1中心对称问题的两种类型及求解方法点关于点对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解直线关于点对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线对称若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解1.“C2”是“点(1，)到直线xyC0的距离为3”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若点(1，)到直线xyC0的距离为3，则有3，解得C2或C10，故“C2”是“点(1，)到直线xyC0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.2.直线3x4y50关于x轴对称的直线的方程是()A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50解析：选A在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P(x，y)在已知的直线3x4y50上，所以3x4(y)50，即3x4y50，故选A.3.已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是_解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以两平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y304.若直线l与直线2xy20关于直线xy40对称，则直线l的方程为_解析：由得即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2xy20上取一点A(1,0)，设点A关于直线xy40的对称点的坐标为(a，b)，则解得即点A关于直线xy40的对称点的坐标为(4,3)，则直线l的方程为，整理得x2y20.答案：x2y20
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