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(六)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线y24x的焦点F作抛物线的两条弦AB，CD，设直线AC与BD的交点为P，直线AC，BD分别与y轴交于M，N两点(1)求证：点P恒在抛物线的准线上；(2)求证：四边形PMFN是平行四边形证明(1)由题意知F(1,0)，不妨设A(a2,2a)，D(b2,2b)，a0，b0)过点(2,1)，直线l过点P(0，1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A，连结AB.(1)求抛物线C的标准方程；(2)问直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由解(1)将点(2,1)代入抛物线C的方程，得p2，所以抛物线C的标准方程为x24y.(2)设直线l的方程为ykx1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，由得x24kx40，则16k2160，x1,2，x1x24，x1x24k，所以kAB，于是直线AB的方程为y(xx2)，所以y(xx2)x1，当x0时，y1，所以直线AB过定点(0,1)3.如图，已知定点R(0，3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且0.(1)求动点M的轨迹C1；(2)圆C2：x2(y1)21，过点(0,1)的直线l依次交C1于A，D两点(从左到右)，交C2于B，C两点(从左到右)，求证：为定值(1)解方法一设M(x，y)，P(x1,0)，Q(0，y2)，则由0，及R(0，3)，得化简得x24y.所以动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线方法二设M(x，y)由，得P，Q.所以，.由0，得0，即x23y0，化简得x24y.所以动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线(2)证明由题意，得ABCD，C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则ABFAFBy111y1.同理CDy2.直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykx1，联立得x24kx40，所以x1,2，所以x1x24k，x1x24，所以ABCDy1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211，所以为定值1.4.如图，已知抛物线C：y24x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点(1)若1，求直线l的斜率；(2)求ATF的最大值解(1)因为抛物线y24x的焦点为F(1,0)，T(1,0)，当lx轴时，A(1,2)，B(1，2)，此时0，与1矛盾，所以可设直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，x1,2，则x1x2，x1x21，故yy16x1x216，y1y24.因为1，所以(x11)(x21)y1y21，将代入并整理，得k24，所以k2.(2)因为y10，所以tanATF1，当且仅当，即y12时取等号，因为点A在第一象限，所以ATF的最大值为.
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