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第2讲导数及其应用考情考向分析1.导数的几何意义和导数运算是导数应用的基础，曲线的切线问题是江苏高考的热点，要求是B级. 2.利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级热点一函数图象的切线问题例1 已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，解得a.所以a的取值范围是.思维升华解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，先使用曲线上点的横坐标表示切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系跟踪演练1(1)(2018常州期末)已知函数f(x)bxln x，其中bR，若过原点且斜率为k的直线与曲线yf(x)相切，则kb的值为_答案解析因为f(x)bxln x(x0)，所以f(x)b，设过原点且斜率为k的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，bx0ln x0)，则切线方程为y(bx0ln x0)(xx0)，因为该切线过原点，所以(bx0ln x0)，解得ln x01，x0e，所以kb，故kb.(2)(2018江苏泰州中学月考)若曲线yx2与曲线yaln x在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则实数a的值为_答案1解析两曲线的导数分别是yx，y ，因为在P处有公切线，所以且aln s，解得a1.热点二利用导数研究函数的单调性例2已知函数f(x)2ln xbx，直线y2x2与曲线yf(x)相切于点P.(1)求点P的坐标及b的值；(2)若函数g(x)x(a0)，讨论函数h(x)g(x)f(x)的单调区间解 (1)设P(x0，y0)为直线y2x2与曲线yf(x)的切点坐标，则有2ln x0bx02x02.因为f(x)b(x0)，所以b2.联立解得b0，x01，则切点P(1,0)，b0.(2)由(1)知f(x)2ln x，则h(x)g(x)f(x)x2ln x(x0)求导得h(x)1(x0)令yx22xa(x0)若44a0，即a1时，y0，即h(x)0，此时函数h(x)在定义域(0，)上为增函数；若44a0，即0a1时，函数yx22xa有两个不同零点x11，x21.因为0a1，所以0x1x2.当0xx2时，y0，即h(x)0，h(x)为增函数；当x1xx2时，y0，即h(x)0，h(x)为减函数综上所述，当a1时，函数h(x)的单调增区间为(0，)，无单调减区间；当0a0或f(x)0.若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立来求解跟踪演练2(1)函数f(x)x2ln x的单调减区间为_答案(0,1)解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得0x0)，由题意可知，f1，解得a1.故f(x)x3ln x，f(x)，根据题意在区间上，由f(x)0，得x2.于是在区间上，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0), 由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则解得0a0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围(1)解由f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb32b.当x时，f(x)有极小值b.因为f(x)的极值点是f(x)的零点，所以f10，又a0，故b.因为f(x)有极值，故f(x)3x22axb0有实根，所以4a212b0，从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f(x)0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；当a3时，f(x)0有两个相异的实根x1，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是x1，x2.从而a3.因此b，定义域为(3，)(2)证明由(1)知， .设g(t)(t3)，则g(t).当t时，g(t)0，从而g(t)在上单调递增又3，故g(t)g(3)，即.因此b23a.(3)解由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1x2a，xx.从而f(x1)f(x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，因为f(x)的极值为ba2，所以h(a)a2，a3.因为h(a)a0，所以g(x)在(0，)上单调递增又因为g(1)0，所以当0x1时，g(x)f(x)1时，g(x)f(x)0，因此f(x)在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)的最小值为f(1)0.(2)当a0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增又g(1a)ln(1a)ln 10，g(e2)1e2a0，所以g(x)在(0，)上恰有一个零点x0，则在(0，x0)上，g(x)f(x)0，f(x)单调递减；在(x0，)上，f(x)单调递增，所以x0是f(x)的极小值点，不合题意当a0时，令g(x)0，得xa，所以g(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增当g(a)ln(a)20，即ae2时，f(x)g(x)g(a)0，则f(x)在(0，)上单调递增，无极值点，满足题意当g(a)ln(a)20 ，即e2a0，则g(1)g(a)0，所以g(x)在(a，)上恰有一个零点x1，所以当x(a，x1)时，f(x)g(x)0，则f(x)在(a，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增，所以x1是f(x)的极小值点，不合题意综上所述，a的取值范围是(，e2A组专题通关1(2018南通模拟)若曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，则正数t的值为_答案e2解析yln x1 ，1，ln t2，解得te2.2已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_答案2xy10解析设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，所以当x0时，f(x)ln x3x，f(x)3，所以f(1)2，所以切线方程为2xy10.3已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是单调减函数，则a的取值范围是_答案解析f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意知当x1,1时，f(x)0恒成立，即x2(22a)x2a0在x1,1时恒成立令g(x)x2(22a)x2a，x1,1，则有即解得a.4已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为_答案解析由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.5若函数f(x)ax3ax2(2a3)x1在R上存在极值点，则实数a的取值范围是_答案(0,3)解析求导可得f(x)ax22ax2a3.函数f(x)ax3ax2(2a3)x1存在极值点，f(x)0有两个不等实根，其判别式4a24a(2a3)0，0a3，a的取值范围是(0,3)6函数yx2cos x在区间上的最大值是_答案解析y12sin x，令y0，且x，得x，当x时，y0；当x时，y0，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以当x时，函数取最大值.7若函数f(x)ex(x22xa)在区间a，a1上单调递增，则实数a的最大值为_答案 解析因为f(x)ex(x22xa2x2)ex(x2a2)，且函数f(x)在区间a，a1上单调递增，所以a2x2在xa，a1上恒成立当a10即a0时，yx2在a，a1上单调递增，yx2的最大值是(a1)2，故a2(a1)2，所以00，f(x)单调递增；x(1，)时，f(x)0时，f(x).当0a1，当x(0,1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)2时，00，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在内单调递增；在内单调递减，在(1，)内单调递增10已知函数f(x)x3ax2x2.(1)试问函数f(x)能否在x处取得极值？请说明理由；(2)若a1，令g(x)2xf(x)，求函数g(x)在(1,2)上的极大值、极小值；(3)若函数f(x)在上为单调增函数，求实数a的取值范围解(1)由题意知f(x)3x22ax1，假设在x处f(x)取得极值，则有f1a10，解得a.此时，f(x)3x22x1(x1)20，f(x)为R上的增函数，无极值所以函数f(x)不可能在x处取得极值(2)当a1时，g(x)2x(x3x2x2)x3x2x2，所以g(x)3x22x1.由g(x)0，得x或x1.当x(1,2)时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x1(1,2)g(x)00g(x)1所以函数g(x)在x处取得极小值；在x1处取得极大值1.(3)因为f(x)3x22ax1的对称轴为x.若，即a1时，要使函数f(x)在上为单调增函数，则有4a2120，解得a，所以a1；若1时，要使函数f(x)在上为单调增函数，则有f322a10，解得a2，所以1a2.综上所述，实数a的取值范围为，2B组能力提高11(2018扬州期末)已知函数f(x)sin xx2x，则关于x的不等式f(1x2)f(5x7)0的解集为_答案(2,3)解析易得ff(x)，又 f(2x2x)ln 20，故函数f(x)单调递减，所以ff，即f75x，解得 2x3.12已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为_答案解析因为函数f(x)ax3bx2x(a0，b0)在0,1上的最大值为4，所以函数g(x)ax3bx在0,1上的最大值为2，而g(x)是奇函数，所以g(x)在1,0上的最小值为2，故f(x)在1,0上的最小值为221.13已知函数f(x)xln xax在(0，e)上是增函数，函数g(x)|exa|，当x0，ln 3时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a的值为_答案解析由f(x)(ln x1)a0在(0，e)上恒成立，即aln x1，得a2.当2a3时，g(x)g(x)在0，ln a上单调递减，在ln a，ln 3上单调递增，且g(0)g(ln 3)，所以Mmg(0)g(ln a)a1，解得a；当a3时，g(x)aex，g(x)在0，ln 3上单调递减，所以Mmg(0)g(ln 3)2，舍去所以a.14已知函数f(x)x1a(x1)2ln x(aR)(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)f(x)x1既有一个极小值又有一个极大值，求a的取值范围；(3)若存在b(1,2)，使得当x(0，b时，f(x)的值域是f(b)，)，求a的取值范围注：自然对数的底数e2.718 28.解(1)f(x)的定义域为(0，) .当a0时，f(x)x1ln x(x0)，f(x)1.由f(x)0，得0x0，得x1，所以函数f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)g(x)a(x1)2ln x，则g(x)2a(x1).令h(x)2ax22ax1(x0)，若函数g(x)有两个极值点，则方程h(x)0必有两个不相等的正实根设两根为x1，x2，于是解得a2.当a2时， h(x)0有两个不相等的正实根，设为x1，x2，不妨设x1x2，则g(x).当0x0，g(x)0，函数g(x)在(0，x1)上为减函数；当x1xx2时，h(x)0，函数g(x)在(x1，x2)上为增函数；当xx2时，h(x)0，g(x)0，函数g(x)在(x2，)上为减函数由此，xx1是函数g(x)的极小值点，xx2是函数g(x)的极大值点，符合题意综上所述，所求实数a的取值范围是(2，)(3)f(x)12a(x1)(x0)当a0时，0.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)在(1，)上为增函数，所以，当x(0，b(1b2)时，f(x)minf(1)00时，f(x).(i)当时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值若满足题意，只需满足ff(2)，即1a2ln 1aln 2，整理得ln 2aln 210.令F(a)ln 2aln 21，当a时，F(a)0，所以F(a)在上为增函数，所以，当a时，F(a)Fln 2ln 0.可见，当a时，ff(2)恒成立，故当a，x(0，b(1b满足题意(ii)当1，即a时，f(x)0，当且仅当x1时取等号所以f(x)在(0，)上为减函数，从而f(x)在(0，b上为减函数，符合题意(iii)当1，即0a时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1f(x)00f(x)极小值极大值若满足题意，只需满足f(2)f(1)，且1ln 2，且a.又1ln 2，所以a1ln 2.此时，1ln 2a1ln 2.所以实数a的取值范围是(1ln 2，)
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