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“1820”大题规范满分练“1820”大题规范满分练(一)18(本小题满分14分)已知函数f(x)sin x(cos xsin x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围解：(1)因为f(x)sin 2x(1cos 2x)sin，所以f(x)的最小正周期为T.(2)因为x，所以2x.因为ysin z在上是增函数，在上是减函数，所以f(x)在上是增函数，在上是减函数又因为f(0)0，f 1，f ，关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解，等价于yf(x)与yt的图象在区间内有两个不同的交点，所以要使得关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解，只需满足t0)(1)若1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数f(x)在上的值域解：f(x)sin2cos2x1sin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.(1)当1时，f(x)sin，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由题意知T，所以2，则f(x)sin.由x，得x，则f(x).故f(x)在上的值域为.19(本小题满分15分)已知ABC中，ABAC，BC2，以BC为轴将ABC旋转60到DBC，形成三棱锥DABC.(1)求证：BDAC；(2)求直线BC与平面ACD所成角的余弦值解：(1)证明：取BC的中点E，连接AE，DE，ABAC，AEBC，由翻折知DEBC，二面角ABCD为AED，即AED60，且BC平面ADE，平面ADE平面ABC.DEAE，AED60，ADE为正三角形，取AE的中点H，连接DH，DHAE.平面ADE平面ABCAE，DH平面ABC，DHAC.取CE的中点F，连接FH，可求得HE，FE，BE1，由HE2FEBE，可知FHBH，FHAC，BHAC.DHBHH，AC平面DHB，ACBD.(2)法一：取AD的中点M，连接MB，MC，过B点作BNMC，垂足为N，ABBD，ACCD，且M为AD的中点，BMAD，CMAD，BMCMM，AD平面BMC.BN平面BMC，BNAD.BNMC，ADMCM，BN平面ACD，直线BC与平面ACD所成角即BCM，由(1)可知ADE为正三角形，则AD，可求得BMCM，BN，CN，cosBCN.直线BC与平面ACD所成角的余弦值为.法二：(等体积法)由(1)可知ADE为等边三角形，则DH.SABC2，SACD.设三棱锥BACD的高为h，VBADCVDABC，VDABCSABCDH，VBADCSADChhh，解得h，设直线BC与平面ACD所成角为，则sin ，cos ，直线BC与平面ACD所成角的余弦值为.20(本小题满分15分)已知函数f(x)aln x(x1)(1)若f(x)在区间(1，)不单调，求实数a的取值范围；(2)当a1时，证明：f(x)1，所以10,1x2x0，所以g(x)0, 则g(x)在(1，)上单调递减，所以g(x)g(1)0，故f(x)x3.“1820”大题规范满分练(四)18(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c,3(cacos B)bsin A.(1)求角A的大小；(2)若sin Bcos C，求角C的大小解：(1)由已知及正弦定理得，3(sin Csin Acos B)sin Bsin A，即3sin(AB)sin Acos Bsin Bsin A，化简得3cos Asin Bsin Bsin A.sin B0，tan A，A.(2)由(1)知BC，sincos Ccos2Csin Ccos C(1cos 2C)sin 2Ccos 2Csin 2C，sin.又2C0)的最小正周期为.(1)求f的值；(2)当x时，求f(x)的单调区间及取值范围解：(1)f(x)sin 2x.cos 2xsin 2xcos.T，1，f(x)cos，f.(2)当x时，2x.当2x，即x时，f(x)单调递减，f(x)的减区间为，当2x，即x时，f(x)单调递增，f(x)的增区间为，f(x).19(本小题满分15分)如图，三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长均为1，A1C1B1C.(1)求证：A1BAC；(2)若A1B1，求直线A1C1和平面ABB1A1所成角的余弦值解：(1)证明：取AC的中点O，连接A1O，BO，BOAC.连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1COM.A1C1AC，A1C1B1C，ACOM.又OMBOO，AC平面A1BO.A1B平面A1BO，A1BAC.(2)A1C1AC，直线A1C1和平面ABB1A1所成的角等于直线AC和平面ABB1A1所成的角三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长均为1，A1BAB1，A1BAC，AB1ACA，A1B平面AB1C，平面AB1C平面ABB1A1.平面AB1C平面ABB1A1AB1，AC在平面ABB1A1的射影在直线AB1上，B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角AB12AM2，A1C1B1C，A1C1AC，ACB1C，在RtACB1中，cosB1AC.直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值为.即直线A1C1和平面ABB1A1所成角的余弦值为.20(本小题满分15分)已知函数f(x)(x0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)e.解：(1)f(x).令h(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0时，h(x)0，所以函数h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以h(x)minh(0)0，即exx1，当且仅当x0时等号成立由已知x0，得exx1，0，所以f(x)e等价于exxe10，则g(x)exexe，由(1)知e1，所以g(x)0时，有g(x)g(0)0，即exxe1e.“1820”大题规范满分练(六)18(本小题满分14分)已知函数f(x)cos(2x)sin2x(0)(1)若，求f(x)的值域；(2)若f(x)的最大值是，求的值解：(1)由题意得f(x)cossin2xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos，所以函数f(x)的值域为0,1(2)因为f(x)cos cos 2xsin sin 2xcos 2xsin sin 2x，又函数f(x)的最大值为，所以221，从而cos 0，又01时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)由题意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn. 可得Tn23，故Tn6.“1820”大题规范满分练(七)18(本小题满分14分)(2019届高三辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)cos2xsin(x)cos(x).(1)求函数f(x)在0，上的单调递减区间；(2)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)1，a2，bsin Casin A，求ABC的面积解：(1)f(x)cos2xsin xcos xsin 2xsin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，又x0，函数f(x)在0，上的单调递减区间为和.(2)由(1)知f(x)sin，f(A)sin1，ABC为锐角三角形，0A，2A，2A，即A.又bsin Casin A，bca24，SABCbcsin A.19(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PCD为正三角形且二面角PCDA为60.(1)设侧面PAD与侧面PBC的交线为m，求证：mBC；(2)设底边AB与侧面PBC所成的角为，求sin 的值解：(1)证明：因为BCAD，BC侧面PAD，AD侧面PAD，所以BC侧面PAD.又因为侧面PAD侧面PBCm，所以mBC.(2)取CD的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，则PMCD，MNCD.所以PMN是侧面PCD与底面ABCD所成二面角的平面角从而PMN60.作POMN于O，则PO底面ABCD.因为CM2，PM2，所以OM，OP3.以O为坐标原点，ON为x轴，OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(4，2,0)，B(4，2,0)，C(，2,0)，P(0，0,3)，(0,4,0)，(4，2，3)，(，2，3)设n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即取y3，得平面PBC的一个法向量为n(0,3,2)则sin |cosn，|.20(本小题满分15分)已知函数f(x).(1)求函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)证明：f(x)仅有唯一的极小值点解：(1)因为f(x)，所以f(1)2.又因为f(1)e2，所以切线方程为y(e2)2(x1)，即2xye40.(2)证明：令h(x)ex(x1)2，则h(x)exx，所以x(，0)时，h(x)0.当x(，0)时，易知h(x)0，所以f(x)0，f(x)在(，0)上没有极值点当x(0，)时，因为h(1)20，所以f(1)0，f(x)在(1,2)上有极小值点又因为h(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)仅有唯一的极小值点“1820”大题规范满分练(八)18(本小题满分14分)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间上的最值，并求出相应的x值解：(1)由图象可知A2.周期T，又T，2.f(x)2sin(2x)，f 2sin2，2k，kZ，即2k，kZ.又|，f(x)2sin.(2)当x时，2x，sin，f(x)2sin1,2当2x，即x时，f(x)maxf 2.当2x，即x0时，f(x)minf(0)1.19(本小题满分15分)如图，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，点C在O上，且CAB30，D为AC的中点(1)证明：AC平面POD；(2)求直线OC与平面PAC所成角的正弦值解：(1)证明：因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又因为PO底面O，AC底面O，所以ACPO.因为ODPOO，所以AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面POD，AC平面PAC，所以平面POD平面PAC，在平面POD中，过O作OHPD交PD于H，则OH平面PAC.连接CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在RtPOD中，OH，在RtOHC中，sinOCH.所以直线OC与平面PAC所成角的正弦值为.20(本小题满分15分)设an是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(nN*)，已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值解：(1)设等比数列bn的公比为q(q0)由b11，b3b22，可得q2q20.因为q0，可得q2，故bn2n1.所以Tn2n1.设等差数列an的公差为d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16.联立解得a11，d1，故ann，所以Sn.(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn，可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n4或n1(舍去)所以n的值为4.
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