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第2讲三角恒等变换与解三角形考情考向分析正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视热点一三角恒等变换例1(1)若cos，则cos_.答案解析cos，cossinsin，cos12sin2.(2)在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角，角的终边经过点P(2,1)求cos 的值；求cos的值解由于角的终边经过点P(2,1)，故cos，sin，cos coscoscossinsin.sin sinsincoscossin，则sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，coscoscos 2sin sin 2.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解跟踪演练1(1)已知cos3sin，则tan_.答案24解析cos3sin，sin 3sin，sin 3sin3sin cos3cos sinsin cos ，tan ，又tantan2，tan24.(2)(2018江苏如东中学等五校联考)已知，且cos，则sin 的值是_答案解析，给合同角三角函数基本关系式有：sin，则sin sinsincoscossin.热点二正弦定理、余弦定理例2(2018江苏泰州中学调研)如图，在圆内接ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acos Cccos A2bcos B.(1)求B的大小；(2)若点D是劣弧AC上一点，AB3，BC2，AD1，求四边形ABCD的面积解(1)方法一设外接圆的半径为R，则a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入得2Rsin Acos C2Rsin Ccos A22Rsin Bcos B，即sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos B，所以sin B2sin Bcos B.所以sin B0，所以cos B.又B是三角形的内角，所以B.方法二根据余弦定理，得ac2bcos B，化简得cos B.因为0B，所以B.(2)在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC942327，所以AC.因为A，B，C，D四点共圆，所以ADC.在ACD中，AC2AD2CD22ADCDcosADC，代入得71CD22CD，所以CD2CD60，解得CD2或CD3(舍)所以SABCDSABCSACDABBCsinABCADCDsinADC32122.思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口跟踪演练2在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知4，ABC的面积为6，求边长b的值解(1)由已知得bcos Aacos Bbsin C，由正弦定理得sin Bcos Acos Bsin Asin Bsin C，sin(AB)sin Bsin C，又在ABC中，sin(AB)sin C0，sin B，0B，B.(2)由已知及正弦定理得c4，又 SABC6，B，acsin B6，得a6，由余弦定理b2a2c22accos B，得 b2.热点三解三角形与三角函数的综合问题例3(2018江苏三校联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C.(1)求b的值；(2)若B，S为ABC的面积，求S8cos Acos C的取值范围解(1)由正弦定理、余弦定理知sin Acos C3cos Asin C可等价变形为a3c，化简得a2c2.因为a2c22b，所以b4或b0(舍去)(2)由正弦定理得Sbcsin A4sin Asin C8sin Asin C，所以S8cos Acos C8cos(AC)8cos.在ABC中，由得A.所以2A，所以cos，所以S8cos Acos C(8,8)思维升华解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解跟踪演练3已知函数f(x)2cos2xsin1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)，若bc2a，且6，求a的值解(1)f(x)sin2cos2x1cos 2xsin 2xcos 2xcos 2xsin 2xsin.函数f(x)的最小正周期T.由2k2x2k(kZ)，可解得kxk(kZ)f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)由f(A)sin，可得2A2k或2A2k(kZ)A(0，)，A，bccos Abc6，bc12，又2abc，cos A111，a2.1若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C，结合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos C，故cos C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，则ABC的面积为_答案解析因为0A0，并结合sin2Ccos2C1，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a及正弦定理，得c.故ABC的面积Sacsin B.5已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因为函数f(x)的最小正周期为T，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin.因为sin B，sin A，sin C成等比数列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(当且仅当bc时取等号)因为0A，所以0A，所以3A，所以sin1，所以10)，则cos C，又C(0，)，sin C.当BC1时，AC，SABC1.8.如图，在ABC中，BC2，ABC，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且DE，则BE2_.答案解析如图，连结CD，由题设，有BDC2A，所以，故CD.又DECDsin A，所以cos A，而A(0，)，故A，因此ADE为等腰直角三角形，所以AEDE.在ABC中，ACB，所以，故AB1，在ABE中，BE2(1)222(1).9(2018江苏)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值解(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .又因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2.因此，tan()tan2().10(2018江苏扬州中学调研)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(1,2)，n，且mn1.(1)求角A的大小；(2)若bc2a2，求sin的值解(1)由题意得mncos 2A2cos22cos2A1cos A12cos2Acos A，又因为mn1，所以2cos2Acos A1，解得cos A或cos A1，0A，0A.由正弦定理得.0tan A，2，即2.的取值范围是(2，)13在锐角ABC中，角A所对的边为a，ABC的面积S，给出以下结论：sin A2sin Bsin C；tan Btan C2tan Btan C；tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；tan Atan Btan C有最小值8.其中正确结论的个数为_答案4解析由Sabsin C，得a2bsin C，又，得sin A2sin Bsin C，故正确；由sin A2sin Bsin C，得sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，两边同时除以cos Bcos C，可得tan Btan C2tan Btan C，故正确；由tan(AB)，且tan(AB)tan(C)tan C，所以tan C，整理移项得tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，故正确；由tan Btan C2tan Btan C，tan Atan(BC)，且tan A，tan B，tan C都是正数，得tan Atan Btan Ctan Btan Ctan Btan C，设mtan Btan C1，则m0，tan Atan Btan C24448，当且仅当mtan Btan C11，即tan Btan C2时取“”，此时tan Btan C2，tan Btan C4，tan A4，所以tan Atan Btan C的最小值是8，故正确14已知向量a(sin 2x，cos 2x)，b(cos ，sin )，若f(x)ab，且函数f(x)的图象关于直线x对称(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)，且b5，c2，求ABC外接圆的面积解(1)f(x)absin 2xcos cos 2xsin sin(2x)，函数f(x)的图象关于直线x对称，2k，kZ，k，kZ，又|，.f(x)sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)f(A)sin，sin1.A(0，)，2A，2A，A.在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A2512252cos7，a.设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R2，R，ABC外接圆的面积SR27.
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