高中数学 第二章 平面向量 第三讲 向量的坐标表示2 平面向量的坐标运算学案 苏教版必修1.doc

平面向量的坐标运算一、考点突破知识点课标要求题型说明平面向量的坐标运算1. 理解平面向量的坐标的概念，会写给定向量的坐标；2. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；3. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件；4. 会根据平面向量的坐标判断向量是否共线填空向量的坐标运算是向量重要的内容，它实现了从向量向代数的转化，尤其是两向量平行的坐标化判定应用广泛二、重难点提示重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算；难点：平面向量平行条件的理解。考点一：平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj，则把有序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a（x，y）。（2）平面向量的坐标运算已知向量a（x1，y1），b（x2，y2）和实数，那么ab（x1x2，y1y2），ab（x1x2，y1y2），a（x1，y1）；已知A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，则（x2，y2）（x1，y1）（x2x1，y2y1），即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。【要点诠释】向量的坐标运算（1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标。（2）解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。【核心突破】点的坐标与向量的坐标的区别和联系 在直角坐标平面内，以原点为起点的向量也叫位置向量。位置向量，点A的位置被向量唯一确定，此时A的坐标与向量的坐标统一为； 相等向量的坐标是相同的，但起点、终点坐标可以不同，如A（3，5），B（6，8），（3，3）；若C（5，3），D（2，6），（3，3），显然四点坐标各不相同。【重要提示】向量的坐标的作用利用向量的坐标表示，可把向量问题中的几何属性代数化，使问题的解决达到程序化，从而降低了思维难度，有利于问题的解决。考点二：平面平行的坐标表示设向量a（x1，y1），b（x2，y2）（a0），如果ab，那么x1y2x2y10；反过来，如果x1y2x2y10，那么ab。【核心归纳】两个向量共线条件的表示方法已知a（x1，y1），b（x2，y2），（1）当b0时，ab；（2）x1y2x2y10；（3）当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例。【重要提示】利用向量平行的坐标表示，可以解决三点共线问题。【随堂练习】已知向量（k，12），（4，5），（10，k），若A，B，C三点共线，则实数k_。思路分析：把三点共线转化为向量平行，然后利用共线定理的坐标形式转化为关于k的方程。答案：由题意得（4k，7），（6，k5），与共线，（4k）（k5）6（7）0，解得k2或11。技巧点拨：两向量共线定理的坐标形式实现了三点共线向方程的转化，即“形”向“数”的转化。例题1 （向量的坐标表示）在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标。思路分析：利用三角函数求出各向量在x轴、y轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标。答案：设a（a1，a2），b（b1，b2），c（c1，c2），则a1|a|cos 452，a2|a|sin 452，b1|b|cos 1203（），b2|b|sin 1203，c1|c|cos（30）4，c2|c|sin（30）4（）2，因此a（，），b（，），c（，2）。技巧点拨：1. 向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标。2. 求向量的坐标一般要转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算。例题2 （平面向量的坐标运算）（1）若a（1，3），b（2，4），c（0，5），则3abc_。（2）已知三点A（2，1），B（3，4），C（2，0），试求向量3，2。思路分析：（1）中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行运算。（2）中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算。答案：（1）a（1，3），b（2，4），c（0，5），3abc3（1，3）（2，4）（0，5）（3，9）（2，4）（0，5）（320，945）（5，8）。（2）A（2，1），B（3，4），C（2，0），（3，4）（2，1）（1，5），（2，1）（2，0）（4，1），（2，0）（3，4）（5，4），33（1，5）（4，1）（5，），2（5，4）2（1，5）（7，14）。技巧点拨：平面向量坐标的线性运算的方法：（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算。（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算。（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行。例题3 （向量平行的坐标表示）（1）已知四点坐标A（1，1），B（1，5），C（2，1），D（4，11），请判断直线AB与CD是否平行？（2）已知向量（k，12），（4，5），（10，k），当k为何值时，A，B，C三点共线？思路分析：（1）判断判断点A是否在直线CD上结论。（2）求A，B，C三点共线时k的值，则一定有成立，先求，再列方程组求解k。答案：（1）因为（2，4），（4，11）（1，1）（5，10），（2，1）（1，1）（1，2），所以2，5，所以，由于与，有共同的起点A，所以A，B，C，D四点共线，因此直线AB与CD重合。（2）（4k，7），（10k，k12），若A，B，C三点共线，则，（4k）（k12）7（10k），解得k2或11，当k2或11时，A，B，C三点共线。技巧点拨：1. 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理ab（b0）列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解。2. 利用x1y2x2y10求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点及程序化的特征。充分利用向量共线解决求值问题【例证】已知AOB中，O（0，0），A（0，5），B（4，3），AD与BC交于点M，求点M的坐标。思路分析：由已知条件易求得点C，D的坐标，再由点M是AD与BC的交点，即A，M，D三点共线与B，M，C三点共线可得到以点M的坐标为解的方程组，解方程组即可。答案：点O（0，0），A（0，5），B（4，3），（0，5），（4，3），（0，），点C的坐标为（0，），同理可得D（2，），设点M（x，y），则（x，y5），A，M，D共线，与共线，又（20，5）（2，），x2（y5）0，即7x4y20，（x，y），（40，3）（4，），与共线，x4（y）0，即7x16y20，由得x，y2，M的坐标为（，2）。技巧点拨：在求点或向量坐标的问题中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据。