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第3讲解析几何的综合问题考情考向分析江苏高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求热点一最值、范围问题例1(2018南通模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左顶点，右焦点分别为A，F，右准线为m，(1)若直线m上不存在点Q，使AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；(2)在(1)的条件下，当e取最大值时，A点坐标为(2,0)，设B，M，N是椭圆上的三点，且，求以线段MN的中点为圆心，过A，F两点的圆的方程解(1)设直线m与x轴的交点是R，依题意FRFA，即cac，a2c，12，12e，2e2e10,0b0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M(x1,0)，直线AC与直线BD交于点N(x2，y2)(1)求椭圆的标准方程；(2)若2，求直线l的方程；(3)求证：x1x2为定值(1)解由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得解得所以椭圆的标准方程为y21.(2)解由(1)知C(0,1)，设D(x0，y0)，由2，得2y01，所以y0，代入椭圆方程得x0或，所以D或D，所以kl或kl.所以直线l的方程为x2y20或x2y20.(3)证明设D(x3，y3)，由C(0,1)，M(x1,0)可得直线CM的方程为yx1, 联立椭圆方程得解得x3，y3.由B(，0) ，得直线BD的方程为y(x)，因为点N(x2，y2)在直线BD上，所以y2(x2)，直线AC的方程为yx1，因为点N(x2，y2)在直线AC上，所以y2x21，联立得x2，从而x1x22为定值1(2017江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，8，解得a2，c1，于是b，因此椭圆E的标准方程是1.(2)由(1)知，F1(1,0)，F2(1,0)设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x00，y00.当x01时，l2与l1相交于F1，与题设不符当x01时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1PF1，l2PF2，所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，从而直线l1的方程为y(x1)，直线l2的方程为y(x1)由，解得xx0，y，所以Q.因为点Q在椭圆上，由对称性，得y0，即xy1或xy1.又点P在椭圆上，故1.由解得x0，y0，由无解因此点P的坐标为.2(2018苏州调研)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为 2，一条准线方程为x2，P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P的坐标为，求过P，Q，F2三点的圆的方程；(3)若，且，求的最大值解(1)由题意得解得c1，a22，所以b2a2c21.所以椭圆C的方程为y21.(2)因为P(0,1)，F1(1,0)，所以PF1的方程为xy10.由解得或 所以点Q的坐标为.设过P，Q，F2三点的圆为x2y2DxEyF0，则解得D，E，F.所以圆的方程为x2y2xy0.(3)设P，Q，则(x11，y1)，(1x2，y2)因为，所以即 所以2y1，y1，解得x2.所以x1x2y1y2x2y x(1)x2 2，因为，所以2，当且仅当，即1时取等号所以，即的最大值为.A组专题通关1已知抛物线x22py(p0)的焦点F是椭圆1(ab0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为_答案1解析方法一由抛物线方程，得焦点为F.由椭圆方程，可得上焦点为(0，c)，故c，将yc代入椭圆方程可得x.又抛物线通径为2p，所以2p4c，所以b2a2c22ac，即e22e10，解得e1.方法二如图所示，由抛物线方程以及直线y，可得Q.又c，即Q(2c，c)，代入椭圆方程可得1，化简可得e46e210，解得e232，e2321(舍去)，即e1(负值舍去)2若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_答案6解析由题意得F(1,0)，设点P(x0，y0)，则y3(2x02)x0(x01)yxx0yxx03(x02)22.又因为2x02，所以当x02时，取得最大值6.3已知两定点A(1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：yx2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为_答案解析A(1,0)关于直线l：yx2的对称点为A(2,1)，连结AB交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为AB，所以椭圆C的离心率的最大值为.4如图，已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2y2b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的长轴长是短轴长的_倍答案解析连结PF1，OQ，则PF12OQ2b，PF1PF2，由PFPFF1F，得(2b)2(2a2b)2(2c)2，解得，故.5(2018江苏省扬州树人学校模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A为椭圆C的上顶点，点M为x轴正半轴上一点，过点A作AM的垂线AN与椭圆C交于另一点N，若AMN60，求点M的坐标解(1)因为椭圆C的短轴长为2，离心率为，所以解得所以椭圆C的方程为1.(2)因为A为椭圆C的上顶点，所以A(0，)设M(m,0)(m0)，则kAM.又AMAN，所以kAN，所以直线AN的方程为y x.由消去y，整理得(23m2)x212mx0，所以xN，yN，所以AN，在RtAMN中，由AMN60，得ANAM，所以，解得m.所以点M的坐标为.6已知椭圆C：y21(常数m1)，点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)(1)若M与A重合，求C的焦点坐标；(2)若m3，求PA的最大值与最小值；(3)若PA的最小值为MA，求m的取值范围解(1)m2，椭圆方程为y21，c，左、右焦点坐标为(，0)，(，0)(2)m3，椭圆方程为y21，设P(x，y)，则PA2(x2)2y2(x2)212(3x3)，当x时，(PA)min，当x3时，(PA)max5.(3)设动点P(x，y)，则PA2(x2)2y2(x2)2125(mxm)，当xm时，PA取最小值，且0，m且m1，解得1m1.7(2018江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点为F1(，0)，F2(，0)，圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A，B两点若OAB的面积为，求直线l的方程解(1)因为椭圆C的焦点为F1(，0)，F2(，0)，可设椭圆C的方程为1(ab0)又点在椭圆C上，所以解得因此，椭圆C的方程为y21.因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2y23.(2)设直线l与圆O相切于点P(x0，y0)(x00，y00)，则xy3，所以直线l的方程为y(xx0)y0，即yx.由消去y，得(4xy)x224x0x364y0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以(24x0)24(4xy)(364y)48y(x2)0.因为x00，y00，所以x0，y01.因此，点P的坐标为(，1)因为OAB的面积为，所以ABOP，从而AB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1,2，所以AB2(x1x2)2(y1y2)2.因为xy3，所以AB2，即2x45x1000，解得x(x20舍去)，则y，代入48y(x2)0，满足题意，因此点P的坐标为.所以直线l的方程为yx3，即xy30.B组能力提高8.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率过点T(1,0)作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 的值；(3)记直线l与y轴的交点为P.若，求直线l的斜率k.解(1)因为椭圆1经过点(b,2e)，所以1.因为e2，所以1.因为a2b2c2，所以1.整理得 b412b2320，解得b24或b28(舍) .所以椭圆C的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为T(1,0)，所以直线l的方程为yk(x1)联立直线l与椭圆方程得消去y，得(2k21)x24k2x2k280，所以x1,2，所以因为MNl，所以直线MN的方程为ykx，联立直线MN与椭圆方程得消去y，得 (2k21)x28，解得x2.因为MNl，所以 .因为(1x1)(x21)x1x2(x1x2)1 ，(xMxN)24x2，所以.(3)在yk(x1)中，令x0，则yk，所以P(0，k)，从而(x1，ky1)，(x21，y2)因为，所以x1(x21)，即x1x2.由(2)知由解得 x1，x2.因为x1x2，所以， 整理得50k483k2340，解得k22或k2 (舍) .又因为k0，所以k.9.如图，椭圆C：1(ab0)的顶点分别为A1，A2，B1，B2，4，直线yx与圆O：x2y2b2相切(1)求椭圆C的离心率；(2)若P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交直线B2P于点E，问直线EF是否过定点若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由解(1)因为直线yx与圆O相切，由点到直线的距离公式得，b，即b1.又4，所以2a2b4，所以a2，所以椭圆C的方程为y21，离心率e.(2)由题意知直线B2P的斜率存在，设直线B2P的斜率为k，由(1)可知，A1(2,0)，B1(0，1)，B2(0,1)，则直线B2P的方程为ykx1.由得(14k2)x28kx0，其中xB20，所以xP.所以P，易知k0，且k.则直线A1P的斜率，直线A1P的方程为y(x2)，令x0，则y，即F.易知直线A1B1的方程为x2y20，由解得所以E，所以直线EF的斜率k0，所以直线EF的方程为yx，即2k(xy1)(y1)0，由得所以直线EF过定点(2,1)
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