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第1讲直线与圆考向预测1直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点；2考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20间的距离d(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d3圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为，半径为r4直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0，b0是圆C:x2+y2=1内一点，直线ax+by=1，ax+by=-1，ax-by=1，ax-by=-1围成的四边形的面积为S，则下列说法正确的是（）AS4BS4CS4DS4解析由已知a2+b24答案A探究提高1求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性2求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意【训练1】(2017贵阳质检)已知直线l1：mxy10，l2：(m3)x2y10，则“m1”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析“l1l2”的充要条件是“m(m3)120m1或m2”，因此“m1”是“l1l2”的充分不必要条件答案A热点二圆的方程【例2】(2019江西名校联盟)已知点A(-2,-1)，B(1,3)，则以线段AB为直径的圆的方程为（）A(x-12)2+(y+1)2=25B(x+12)2+(y-1)2=25C(x-12)2+(y+1)2=254D(x+12)2+(y-1)2=254解析圆心为AB的中点-12,1，半径为(-12+2)2+(1+1)2=52，则以线段AB为直径的圆的方程为(x+12)2+(y-1)2=254答案D探究提高1直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数法求圆的方程【训练2】圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为2，则圆C的标准方程为_解析设圆心(a0)，半径为a由勾股定理得()2a2，解得a2所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x2)2(y1)24答案(x2)2(y1)24热点三直线与圆的位置关系【例3】(1)(2019银川一中)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA+OB|=|OA-OB|，其中O为坐标原点，则实数a的值为（）A2B2C2D2(2)(2017菏泽二模)已知圆C的方程是x2y28x2y80，直线l：ya(x3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为_解析(1)由|OA+OB|=|OA-OB|得OA+OB2=OA-OB2，OAOB=0，OAOB，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即a2=2，a2，故选B(2)圆C的标准方程为(x4)2(y1)29，圆C的圆心C(4，1)，半径r3又直线l：ya(x3)过定点P(3，0)，则当直线ya(x3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短因此akCPa1，a1故所求直线l的方程为y(x3)，即xy30答案(1)B，(2)xy30探究提高1研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题2与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理【训练3】(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|OA|，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解(1)圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6，7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0)，且b5解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21(2)kOA2，可设直线l的方程为y2xm，即2xym0又|BC|OA|2，由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d2，即2，解得m5或m15直线l的方程为2xy50或2xy150(3)由，则四边形AQPT为平行四边形，又P，Q为圆M上的两点，|PQ|2r10|TA|PQ|10，即10，解得22t22故所求t的范围为22，221(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a（）ABCD22(2018全国III卷)直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x-22+y2=2上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6B4，8C2，32D22，323(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_4(2018全国I卷)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A，B两点，则AB=_1(2018聊城一中)已知斜率为k的直线l平分圆x2+y2-2x+3y=0且与曲线y2=x恰有一个公共点，则满足条件的k值有（）个A1B2C3D02过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A2xy50B2xy70Cx2y50Dx2y703(2015全国卷)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）ABCD4(2017北京卷)已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2，0)，O为原点，则的最大值为_5(2015全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|1(2018成都月考)直线l:x+4y=2与圆C:x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为、，则cos+cos=（）A1817B-1217C-417D4172(2017济南调研)若直线xym0被圆(x1)2y25截得的弦长为2，则m的值为（）A1B3C1或3D23(2017广安调研)过点(1，1)的直线l与圆(x2)2(y3)29相交于A，B两点，当|AB|4时，直线l的方程为_4(2017池州模拟)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线axby80与以A(1，1)为圆心的圆交于B，C两点，且BAC120，则圆C的方程为_5已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3xy10和l2：xy30的交点，求直线l的方程参考答案1【解题思路】点到直线距离公式d【答案】圆x2y22x8y130化为标准方程为(x1)2(y4)24，故圆心为(1，4)由题意，得d1，解得a故选A2【解题思路】先求出A，B两点坐标得到AB，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可【答案】直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，A-2,0,B(0,-2),则AB=22，点P在圆（x-2）2+y2=2上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离d1=|2+0+2|2=22，故点P到直线x+y+2=0的距离d2的范围为2,32，则SABP=12ABd2=2d22,6，故答案选A点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题3【解题思路】利用弦心距结合勾股定理求弦长列方程求半径【答案】圆C的标准方程为x2(ya)2a22，圆心为C(0，a)，点C到直线yx2a的距离为d又由|AB|2，得a22，解得a22，所以圆C的面积为(a22)4故填44【解题思路】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长【答案】根据题意，圆的方程可化为x2+(y+1)2=4，所以圆的圆心为(0,-1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d=0+1+112+(-1)2=2，结合圆中的特殊三角形，可知AB=24-2=22，故答案为22点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果1【解题思路】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k的值【答案】圆x2+y2-2x+3y=0的圆心为(1,-32)，所以设直线为y+32=k(x-1)联立y+32=k(x-1)y2=x，得ky2-y-k-32=0因为恰有一个公共点，所以k=0或者k01-4k(-k-32)=0，解得k=-354综上可得，k的值有3个，故选C2【解题思路】过圆上一点作圆的切线有且只有一条【答案】依题意知，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k2故圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70故选B3【解题思路】待定系数法求圆的方程【答案】设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，ABC外接圆的圆心为，因此圆心到原点的距离d故选B4【解题思路】设出P点坐标，直接利用向量数量积定义即可【答案】由题意知，(2，0)，令P(x，y)，1x1，则(2，0)(x2，y)2x46，故的最大值为6故填65【解题思路】(1)直线与圆相交，可得dr，(2)利用韦达定理【答案】(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1，解得k所以k的取值范围为(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70所以x1x2，x1x2x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1故圆心C在l上，所以|MN|21【解题思路】设A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函数的定义得：cos+cosx1+x2，由此利用韦达定理能求出cos+cos的值【答案】设A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函数的定义得：cos+cosx1+x2，由x+4y=2x2+y2=1，消去y得：17x24x120则x1+x2=417，即cos+cos=417故选D2【解题思路】利用弦心距结合勾股定理求圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求m【答案】圆(x1)2y25的圆心C(1，0)，半径r又直线xym0被圆截得的弦长为2圆心C到直线的距离d，因此，m1或m3故选C3【解题思路】设出直线方程，再利用弦心距结合勾股定理求出圆心到直线的距离【答案】易知点(1，1)在圆内，且直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y1k(x1)，即kxy1k0又|AB|4，r3，圆心(2，3)到l的距离d因此，解得k直线l的方程为x2y30故填x2y304【解题思路】求出圆心到直线的距离，再根据三角函数求半径【答案】由题意，a40，b24，直线axby80，即5x3y10，A(1，1)到直线的距离为，直线axby80与以A(1，1)为圆心的圆交于B，C两点，且BAC120，r，圆C的方程为(x1)2(y1)2故填(x1)2(y1)25【解题思路】联立方程组求出交点坐标，两点到直线距离相等可能在同侧，也可能在两侧【答案】解方程组得交点P(1，2)若点A，B在直线l的同侧，则lAB而kAB，由点斜式得直线l的方程为y2(x1)，即x2y50若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点，由两点式得直线l的方程为，即x6y110综上所述，直线l的方程为x2y50或x6y110
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