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第73练 高考大题突破练圆锥曲线中的定点、定值问题基础保分练1.如图，已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若y1y28，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN的斜率之比为定值2已知椭圆C：1，过C的左焦点不与x轴垂直的直线l与C交于点M，N，点M关于x轴的对称点为M，证明：直线MN恒过定点3已知椭圆C：1(ab0)经过点(，1)，过点A(0，1)的动直线l与椭圆C交于M，N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在与点A不同的定点B，使得ABMABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由能力提升练4已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAOB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值答案精析1(1)解设直线AM的方程为xmyp，代入y22px，得y22mpy2p20，则y1y22p28，得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)证明设B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知，y3y42p2，同理可得，y1y3p2.又直线AB的斜率kAB，直线MN的斜率kMN，2.故直线AB与直线MN的斜率之比为定值2证明椭圆C的左焦点为(1,0)依题意，设直线MN的方程为xty1(t0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则M(x1，y1)且x1x2，y1y20，联立消去x，并整理得(3t24)y26ty90，则(6t)24(9)(3t24)144t21440，y1y2，y1y2，直线MN的方程为yy1(xx1)，令y0，得xx1114，故直线MN恒过定点(4,0)3解(1)椭圆C：1(ab0)经过点(，1)，可得1，又设左焦点为(c,0)，有，即c，a2b22，解得a2，b，则椭圆的方程为1.(2)当直线l与x轴平行时，有|AM|AN|，若使ABMABN，则点B在y轴上不同于A点时均成立故存在与A不同的定点B使得ABMABN恒成立，点B一定在y轴上，所以设B(0，y0)当直线MN的斜率存在时，设直线方程为ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入椭圆方程得(12k2)x24kx20，x1x2，x1x2.若ABMABN，则kBMkBN0，即kBMkBN2k(1y0)2k(2y0)kR，当y02时，ABMABN，B(0,2)当直线MN的斜率不存在时，B(0,2)满足ABMABN，存在不同于点A的定点B(0,2)，使得ABMABN恒成立4解(1)由题意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x，此时，原点O到直线AB的距离为.当OA或OB的斜率不存在时，A，B分别为椭圆的顶点，此时，原点O到直线AB的距离为.当直线AB，OA，OB的斜率都存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240.则(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，则y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB，得kOAkOB1，即1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，满足0，所以原点O到直线AB的距离为.综上，原点O到直线AB的距离为定值.
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