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(三)函数与导数(1)1(2018江南十校模拟)设f(x)xln xax2(3a1)x.(1)若g(x)f(x)在1,2上单调，求a的取值范围；(2)已知f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解(1)由f(x)ln x3ax3a，即g(x)ln x3ax3a，x(0，)，g(x)3a，g(x)在1,2上单调递增，3a0对x1,2恒成立，即a对x1,2恒成立，得a；g(x)在1,2上单调递减，3a0对x1,2恒成立，即a对x1,2恒成立，得a，由可得a的取值范围为.(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在x1处取得极小值，符合题意；当0a1，又f(x)在上单调递增，x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减，在上单调递增，f(x)在x1处取得极小值，符合题意；当a时，1，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意；当a时，00，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)在x1处取得极大值，不符合题意综上所述，可得a的取值范围为.2(2018河南省郑州外国语学校调研)已知函数f(x)aln xex.(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若aN*，且f(x)0)，当a0时，f(x)0时，令f(x)0得axex0，即xexa，又yxex在(0，)上是增函数，且当x时，xex，所以xexa在(0，)上存在一解，不妨设为x0，所以函数yf(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，所以函数yf(x)有一个极大值点，无极小值点综上，当a0时，无极值点；当a0时，函数yf(x)有一个极大值点，无极小值点(2)因为aN* 0，由(1)知，f(x)有极大值f(x0)，且x0满足x0a，可知f(x)maxf(x0)aln x0，要使f(x)0恒成立，即f(x0)aln x00，由可得，代入得aln x00，即a0，所以ln x00，因为ln 1.70，且yln x0在(0，)上是增函数设m为yln x0的零点，则m(1.7,1.8)，可知0x0m，由可得aln x0，当0x01时，aln x00，不等式显然恒成立；当1x00，a，令g(x)，x(1，m)，则g(x)0，所以g(x)在(1，m)上是减函数，且10.29，10.31，所以10.29g(m)0，m(x)单调递增；当x(e，)时，m(x)0，m(x)单调递减m(x)有极大值，又x(0,1时，m(x)0；当x(1，)时，0m(x)1时，h(x)f(x)g(x)0恒成立，即ln xex2ax2ae0恒成立，令t(x)ln xex2ax2ae，t(x)ex2a，设(x)ex2a，(x)ex，x1，exe，0，(x)在(1，)上单调递增，即t(x)在(1，)上单调递增，t(x)t(1)1e2a，当a且a1时，t(x)0，t(x)ln xex2ax2ae在(1，)上单调递增，t(x)t(1)0成立，当a时，t(1)1e2a0，存在x0(1，ln 2a)，满足t(x0)0.t(x)在(1，)上单调递增，当x(1，x0)时，t(x)0，t(x)单调递减，t(x0)0不恒成立实数a的取值范围为(，1).4(2018福建省百校模拟)已知函数f(x)x1aex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x24.(1)解f(x)1aex，当a0时，f(x)0，则f(x)在R上单调递增当a0，得xln，则f(x)的单调递增区间为，令f(x)ln，则f(x)的单调递减区间为.(2)证明由f(x)0得a，设g(x)，则g(x).由g(x)0，得x0，得x2.故g(x)ming(2)1时，g(x)0，当x0，不妨设x14等价于x24x1，4x12且g(x)在(2，)上单调递增，要证x1x24，只需证g(x2)g(4x1)，g(x1)g(x2)a，只需证g(x1)g(4x1)，即，即证(x13)x110；设h(x)e2x4(x3)x1，x(1,2)，则h(x)e2x4(2x5)1，令m(x)h(x)，则m(x)4e2x4(x2)，x(1,2)，m(x)h(2)0，h(x)在(1,2)上单调递增，h(x)h(2)0，x114得证5(2018长沙模拟)设函数f(x)xln(x)(1)探究函数f(x)的单调性；(2)当x0时，恒有f(x)ax3，试求a的取值范围；(3)令an6nln(nN*)，试证明：a1a2an.(1)解函数f(x)的定义域为R.由f(x)10，知f(x)是R上的增函数(2)解令g(x)f(x)ax3xln(x)ax3，则g(x)，令h(x)(13ax2)1，则h(x).()当a时，h(x)0，从而h(x)是0，)上的减函数，注意到h(0)0，则x0时，h(x)0，所以g(x)0，进而g(x)是0，)上的减函数，注意到g(0)0，则x0时，g(x)0，即f(x)ax3.()当0aax3；()当a0时，h(x)0，同理可知f(x)ax3，综上，a的取值范围是.(3)证明在(2)中，取a，则x时，xln(x)x3，即x3ln(x)x，取x2n，an6nlnn，则a1a2an0，都有f(x)f0.(1)用含a的表达式表示b；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且x10；(3)在(2)的条件下，判断yf(x)零点的个数，并说明理由解(1)根据题意，令x1，可得f(1)f(1)0，所以f(1)ab0，经验证，可得当ab时，对任意x0，都有f(x)f0，所以ba.(2)由(1)可知，f(x)ln xax，且x0，所以f(x)a，令g(x)ax2xa，要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则yg(x)有两个不相等的正实数根，所以或解得0a或无解，所以a的取值范围为，可得0.由题意知，fln 2ln aln 2，令h(x)2ln xln 2，则h(x).而当x时，3x44x43x44(1x)0，即h(x)h2ln 24ln 23ln e0.即当0a0.(3)因为f(x)a，g(x)ax2xa.令f(x)0，得x1，x2.由(2)知，当0a0，g(0)a1.又x1x21，可得x11，此时，f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，)上单调递减，所以yf(x)最多只有三个不同的零点又因为f(1)0，所以f(x)在(x1，1)上单调递增，即当xx1，1)时，f(x)0且0，所以(x1，1)，即(0，x1)，所以x0，使得f(x0)0.由0x0x11，又ff(x0)0，f(1)0，所以f(x)恰有三个不同的零点：x0，1，.综上所述，yf(x)恰有三个不同的零点
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