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专题对点练154.14.2组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.112.九章算术是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意思为:今有金杖(粗细均匀变化)长5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤,则金杖重()A.18斤B.15斤C.13斤D.20斤3.已知等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)24.公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于()A.18B.24C.30D.605.等比数列an的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19D.-196.(2018广东深圳耀华模拟)在数列an中,a1=1,an+1=2an-2n,则a17=()A.-15216B.15217C.-16216D.162177.设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.68.在等比数列an中,各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()A.9B.15C.18D.309.在递减等差数列an中,a1a3=a22-4.若a1=13,则数列1anan+1的前n项和的最大值为()A.24143B.1143C.2413D.613二、填空题(共3小题,满分15分)10.已知等比数列an,a2a4=a5,a4=8,则an的前4项和S4=.11.设等比数列an的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为.12.(2018湖北重点高中协作体模拟)定义“等积数列”,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列an是等积数列且a1=2,公积为10,则这个数列前21项和S21的值为.三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知数列an的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有3an=2Sn+3成立.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3an,求数列bn的前n项和Tn.14.已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(nN*).(1)证明:数列an+1为等比数列,并求数列an的通项公式;(2)若bn=(2n+1)an+2n+1,数列bn的前n项和为Tn,求满足不等式Tn-22n-12 010的n的最小值.15.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=1,2Sn=(n+1)an.在数列bn中,bn=2an+1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)求数列1anlog2bn的前n项和Tn.专题对点练15答案1.A解析 由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5=5(a1+a5)2=5a3=5.2.B解析 由题意可知,在等差数列an中,a1=4,a5=2,则S5=(a1+a5)52=(4+2)52=15,故金杖重15斤.3.A解析 a2,a4,a8成等比数列,a42=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.4.C解析 设等差数列an的公差为d0.由题意,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即2a1+3d=0.S8=16,8a1+872d=16,联立解得a1=-32,d=1.则S10=10-32+10921=30.5.C解析 设数列an的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q1.当q1时,S3=a1(1-q3)1-q=a1q+10a1,1-q31-q=q+10,整理得q2=9.a5=a1q4=9,即81a1=9,a1=19.6.A解析 由题意可得an+12n+1=an2n-12,即an+12n+1-an2n=-12,据此可得,数列an2n是首项为a121=12,公差为-12的等差数列,故a17217=12+(17-1)-12=-152,a17=-15216.故选A.7.C解析 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.d=am+1-am=3-2=1.Sm=ma1+m(m-1)21=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m1=3,-m-12+m=3.m=5.故选C.8.D解析 设等比数列an的公比为q0,2S3=8a1+3a2,2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a1q2=6a1+a1q,即2q2-q-6=0,解得q=2.又a4=16,可得a123=16,解得a1=2.则S4=2(1-24)1-2=30.9.D解析 设公差为d,则d0.1anan+1=1(15-2n)(13-2n)=1212n-15-12n-13,数列1anan+1的前n项和为121-13-1-11+1-11-1-9+12n-15-12n-13=12-113-12n-13,当n=6时,数列1anan+1的前n项和最大,最大值为12-113+1=613,故选D.10.15解析 设等比数列an的公比为q,a2a4=a1qa4=a1a5=a5,a1=1.又a4=8,q3=8,q=2.故S4=1(1-24)1-2=15.11.2解析 等比数列an的前n项和为Sn,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,2a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q,a1q+a1q4=4,解得a1q=8,q3=-12,a8=a1q7=(a1q)(q3)2=814=2.12.72解析 由数列an是等积数列,且 a1=2,公积为10,根据等积数列的定义,得a2=5,a3=2,由此可以知道数列an的所有奇数项为2,所有偶数项为5.故这个数列前21项和S21=710+2=72.13.解 (1)在3an=2Sn+3中,令n=1,得a1=3.当n2时,3an=2Sn+3,3an-1=2Sn-1+3,-得an=3an-1,数列an是以3为首项,3为公比的等比数列,an=3n.(2)由(1)得bn=log3an=n,数列bn的前n项和Tn=1+2+3+n=n(n+1)2.14.(1)证明 当n=1时,2a1=a1+1,a1=1.2an=Sn+n,nN*,2an-1=Sn-1+n-1,n2,两式相减,得an=2an-1+1,n2,即an+1=2(an-1+1),n2,数列an+1为以2为首项,2为公比的等比数列,an+1=2n,an=2n-1,nN*.(2)解 bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)2n,Tn=32+522+(2n+1)2n,2Tn=322+523+(2n+1)2n+1,两式相减可得-Tn=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1,Tn=(2n-1)2n+1+2,Tn-22n-12 010 可化为2n+12 010.210=1 024,211=2 048,满足不等式Tn-22n-12 010的n的最小值为10.15.解 (1)当n2时,由2Sn=(n+1)an,得2Sn-1=nan-1,两式相减得2an=(n+1)an-nan-1,整理得anan-1=nn-1.由an=anan-1an-1an-2a2a1=nn-1n-1n-2211=n(n2).又当n=1时,a1=1,an=n(nN*).由bn=2an+1=2n+1,bn的通项公式为bn=2n+1.(2)由(1)得1anlog2bn=1nlog22n+1=1n(n+1)=1n-1n+1.Tn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.故数列1anlog2bn的前n项和Tn=nn+1.
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