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第3讲平面向量学习目标【目标分解一】平面向量的运算【目标分解二】三角与向量的综合问题重点平面向量的运算【课前自主复习区】核心知识储备一：平面向量共线、垂直的两个充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)abab(b0) (2)abab0 核心知识储备二： 数量积常见的三种应用已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)证明向量垂直：abab0x1x2y1y20.(2)求向量的长度：|a| .(3)求向量的夹角：cosa，b .核心知识储备三： 平面向量解题中应熟知的常用结论(1)A，B，C三点共线的充要条件是存在实数，有，且1.(2)C是线段AB中点的充要条件是()(3)G是ABC的重心的充要条件为0，若ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心坐标为.(4)已知O，N，P在ABC所在平面内若|，则O为ABC的 ；若0，则N为ABC的 ；若，则P为ABC的 (5)非零向量a，b垂直的充要条件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(6)向量b在a的方向上的投影为|b|cos ，向量a在b的方向上的投影为|a|cos .（7）夹角与数量积的关系(1)当为锐角时，ab0，且a、b不同向，ab0是为锐角的必要不充分条件；(2)当为直角时，ab0，但由ab0，不能得到ab，还可能a0或b0.(3)当为钝角时，ab0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要不充分条件高考真题回访1(2015全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4) D(1,4)2(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B.C. D.3(2015全国卷)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1B0 C.1D24(2017全国卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.5(2013全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.6(2012全国卷)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.【课堂互动探究区】【目标分解一】平面向量的运算【例1】(1)(2017衡水模拟)已知平面向量m，n的夹角为，且|m|，|n|2，在ABC中，2m2n，2m6n，D为BC的中点，则|()A2B4C6D8(2)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为() A B. C. D.（3）(2017黄山二模)已知点A(0,1)，B(2,3)，C(1,2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为()A. B C. D【规律总结1】平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现【我会做】(1)在梯形ABCD中，ADBC，已知AD4，BC6，若mn(m，nR)，则()A3 B C. D3(2)已知向量a(1,2)，b(3,1)，c(x,4)，若(ab)c，则c(ab)()A(2,12) B(2,12)C14 D10【目标分解二】三角与向量的综合问题【例2】(名师押题)已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b2，sin B，求yf(x)4cos 的取值范围. 【我会做】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设m，n，且mn.(1)求角B的值；(2)若ABC为锐角三角形，且A，外接圆半径R2，求ABC的周长【课后巩固区】【 验收复习效果】1.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则()A(2,4)B(3,5) C(1,1) D(1，1)2.(2017山西四校联考)向量a，b满足|ab|2|a|，且(ab)a0，则a，b的夹角的余弦值为()A0 B. C. D.3若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B C. D4(2017济南一模)设向量a与b的夹角为，若a(3，1)，ba(1,1)，则cos _.5(2017东北三省联考)两个单位向量a，b满足ab，且a(xab)，则|2a(x1)b|_.6(2017深圳二模)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n(t mn)，则实数t的值为()A4 B4 C. D7.已知a(2,1)，b(，1)，R，a与b的夹角为.若为锐角，则的取值范围是_8.如图7在ABC中，BAC120，AB1，AC2，D为BC边上一点，2，则_.图79 已知O是边长为1的正三角形ABC的中心，则()()_. 10 已知ABC的周长为6，且|，|，|成等比数列，求：(1)ABC面积S的最大值；(2)的取值范围.
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