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课时分层作业 十四利用导数研究函数的单调性一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-,+)上是单调减函数,则实数a的取值范围是()A.(-,-,+)B.(-,-)(,+)C.-,D.(-,)【解析】选C.函数f(x)=-x3+ax2-x-1的导数为f(x)=-3x2+2ax-1,因为函数f(x)在(-,+)上是单调减函数,所以在(-,+)上f(x)0恒成立,即-3x2+2ax-10恒成立,=4a2-120,解得-a.所以实数a的取值范围是-,.2.(2017浙江高考)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 ()【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-,0)上是先减后增,在(0,+)上是先增后减再增,故选D.【变式备选】若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+)上是减函数,则b的取值范围是()A.-1,+)B.(-1,+)C.(-,-1D.(-,-1)【解析】选C.由题意可知f(x)=-(x-2)+0在x(1,+)上恒成立,即bx(x-2)在x(1,+)上恒成立,由于(x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+)上的值域是(-1,+),故只要b-1即可.3.已知函数f(x)=x2+2cos x,若f(x)是f(x)的导函数,则函数f(x)的图象大致是()【解析】选A.因为f(x)=x2+2cos x,所以f(x)=2x-2sin x=2(x-sin x).设g(x)=2(x-sin x),则g(x)=2(1-cos x)0,所以f(x)为增函数.【变式备选】(2018合肥模拟)定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x),已知函数y=2f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调递减区间为()A.(1,+)B.(1,2)C.(-,2)D.(2,+)【解析】选D.结合题干图可知,当x(-,2时,2f(x)1,即f(x)0;当x(2,+)时,2f(x)1,即f(x)0,则下列不等式正确的是 ()A.2019f(2019)2018f(2018)B.2019f(2019)2018f(2018)C.20182f(2018)20192f(2019)【解析】选C.构造函数g(x)=x2f(x),当x0时,g(x)=2xf(x)+x2f(x)0,所以g(x)在(0,+)上单调递增,所以20182f(2018)0,f(x)=1+,要使函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则需方程1+=0在x0上有解,即x=-a,所以a0.5.(2018昆明模拟)已知函数f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式f(ln x)+f0时,f(x)0,f(x)单调递增,且f(-x)=(-x)sin(-x)+cos (-x)+(-x)2=f(x),所以f(x)为偶函数,即有f(x)=f(|x|),则不等式f(ln x)+f2f(1),即为f(ln x)f(1)即为f(|ln x|)f(1),则|ln x|1,即-1ln x1,解得x0,得0x,所以增区间为.答案:7.已知向量a=,b=(1,t),若函数f(x)=ab在区间(-1,1)上存在增区间,则t的取值范围为_.【解析】f(x)=ab=ex+-tx,x(-1,1),f(x)=ex+x-t,函数f(x)在(-1,1)上存在增区间,所以f(x)在(-1,1)的子区间(x1,x2)上单调递增,故ex+xt,当x(x1,x2)时恒成立,又因为-1ex+xe+1,故te+1.答案:(-,e+1)8.(2018兰州模拟)已知函数f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f(x) ,则f(x)+的解集为_.【解题指南】根据条件,构造函数g(x)=f(x)-,求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结论.【解析】设g(x)=f(x)-,则函数g(x)的导数g(x)=f(x)-,因为f(x)的导函数f(x),所以g(x)=f(x)-0,则函数g(x)单调递减,因为f(1)=1,所以g(1)=f(1)-=1-1=0,则不等式f(x)+,等价为g(x)0,即g(x)1,即f(x)1.答案:x|x1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018武威模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,bR)的图象过点P(1,-11),且在点P处的切线斜率为-12.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)因为函数f(x)的图象过点P(1,-11),所以f(1)=-11.所以a+b=-12. 又函数图象在点P处的切线斜率为-12,所以f(1)=-12,又f(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=-15. 解由组成的方程组,可得a=-3,b=-9. (2)由(1)得f(x)=3x2-6x-9,令f(x)0,可得x3;令f(x)0,可得-1x-1时,r(x)0,r(x)在(-1,+)上是单调增函数,故x=0是r(x)在(-1,+)内的唯一零点,即x=0是f(x)在(-1,+)内的唯一零点. 所以当-1x0时,f(x)0时,f(x)0,即f(x)在(0,+)上是单调增函数. (2)g(x)=(x+1)f(x)+1+x2=(x+1)ex+x2+ax,g(x)=(x+2)ex+2x+a,g(x)=(x+3)ex+2.如果g(x)在(-,-1)是凸函数,那么x(-,-1),都有g(x)0.g(x)0a-(x+3)ex.令h(x)=-(x+3)ex,即得h(x)=-(x+4)ex.令h(x)=0x=-4,当x0;当-4x-1时,h(x)f(1)C.f(-1)f(1)D.不确定【解析】选B.因为f(x)=x2+2xf(2),所以f(x)=2x+2f(2),令x=2,解得f(2)=-4,所以f(x)=2x-8,当x4时,f(x)f(1).2.(5分)(2017山东高考)若函数g(x)=exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x【解析】选A.A中,g(x)=ex2-x=,因为1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质,满足题意.B中,g(x)=exx2,则g(x)=exx(x+2),所以g(x)在(-2,0)上单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意;C中,g(x)=ex3-x=,因为01,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意;D中,g(x)=excos x,则g(x)=ex(cos x-sin x),所以g(x)在上单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意.【变式备选】已知f(x)的定义域为(0,+),f(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)(x-1)f(x2-1)的解集是()A.(0,1)B.(1,+)C.(1,2)D.(2,+)【解析】选D.因为f(x)+xf(x)0,所以(xf(x)(x2-1)f(x2-1),所以0x+12.3.(5分)(2018绵阳模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意xR都有f(x)的解集为_.【解析】设g(x)=f(x)-,g(1)=f(1)-=1-1=0,g(x)=f(x)-,因为对任意xR,都有f(x),所以g(x),即为g(x2)0=g(1).则x21,解得-1x1,所以解集为(-1,1).答案:(-1,1)4.(12分)(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-处取得极值. (1)确定a的值.(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.【解析】(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x.因为f(x)在x=-处取得极值,所以f=3a+2=-=0,解得a=.经检验满足题意.(2)由(1)知g(x)=ex,所以g(x)=ex+ex=ex=x(x+1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数;综上知,g(x)在和内为减函数,在和内为增函数.5.(13分)函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b. (1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式.(2)若(x)=-f(x)在1,+)上是减函数,求实数m的取值范围.【解析】(1)由已知得f(x)=,g(x)=a,所以f(1)=1=a,解得a=2.又因为g(1)=0=a+b,所以b=-1,所以g(x)=x-1.(2)因为(x)=-f(x)=-ln x在1,+)上是减函数.所以(x)=0在1,+)上恒成立.即x2-(2m-2)x+10在1,+)上恒成立,则2m-2x+,x1,+),因为x+2,+),所以2m-22,m2.故实数m的取值范围是(-,2.【变式备选】(2018深圳模拟)已知函数f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,当a0时,讨论函数f(x)的单调性.【解析】函数f(x)=x2-2aln x+(a-2)x的定义域为(0,+),f(x)=x-+a-2=.当-a=2,即a=-2时,f(x)=0,f(x)在(0,+)上单调递增.当0-a2,即-2a0时,因为当0x2时,f(x)0;-ax2时,f(x)2,即a-2时,因为当0x-a时,f(x)0;当2x-a时,f(x)0,所以f(x)在(0,2),(-a,+)上单调递增,在(2,-a)上单调递减.综上所述,当a=-2时,f(x)在(0,+)上单调递增;当-2a0时,f(x)在(0,-a),(2,+)上单调递增,在(-a,2)上单调递减;当a-2时,f(x)在(0,2),(-a,+)上单调递增,在(2,-a)上单调递减.
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