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1.4.3含有一个量词的命题的否定学习目标1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR，x22x10.答案(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一个素数不是奇数；(3)x0R，x2x010.梳理写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：xM，p(x)，它的否定綈p：x0M，綈p(x0)全称命题的否定是特称命题知识点二特称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x0R，x10.答案(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)xR，x210.梳理写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：xM，綈p(x)特称命题的否定是全称命题(1)命题綈p的否定为p.()(2)x0M，p(x0)与xM，綈p(x)的真假性相反()(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定()类型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)a，bR，方程axb都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定解(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数(3)其否定：a，bR，使方程axb的解不唯一或不存在(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x120的根；(4)p：对任意实数x，x210.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆(2)綈p：有些自然数的平方不是正数(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0120的根(4)綈p：存在实数x0，使得x10对于任意xR恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围考点含有一个量词的命题题点由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围解(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所求实数m的取值范围是(4，).1命题“xR，|x|x20”的否定是()AxR，|x|x20 BxR，|x|x20Cx0R，|x0|x0 Dx0R，|x0|x0考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案C2m0，n0Z，使得mn2 017的否定是()Am，nZ，使得m2n22 017Bm0，n0Z，使得mn2 017Cm，nZ，有m2n22 017D以上都不对考点存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定答案C3命题“xR，xsin x”的否定是_考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案x0R，x0sin x04由命题“存在x0R，使m0”是假命题，得m的取值范围是(，a)，则实数a的值是_考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题的否定答案1解析其否定为：xR，使e|x1|m0，且为真命题me|x1|.只需m(e|x1|)min1.故a1.5写出下列命题的否定，并判断其真假(1)x0R，x2x020；(2)p：所有的正方形都是菱形；(3)p：至少有一个实数x0，使x10.考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题的否定解(1)綈p：xR，x22x20，真命题由为xR，x22x2(x1)210恒成立(2)綈p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题因为所有的正方形都是菱形(3)綈p：xR，x310，假命题因为当x1时，x310.1对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“”否定为“0 BxN*，(x1)20Cx0R，lg x00恒成立，而y2x1的图象是将y2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x10恒成立，A为真命题；当x1时，(x1)20，故B为假命题；当0x10时，lg x1，故x0R，lg x0nBnN*，f(n)N*或f(n)nCn0N*，f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)n0考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案D解析“f(n)N*且f(n)n”的否定为“f(n)N*或f(n)n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.7已知a0，函数f(x)ax2bxc，若x0满足关于x的方程2axb0，则下列选项中的命题为假命题的是()Ax1R，f(x1)f(x0) Bx1R，f(x1)f(x0)CxR，f(x)f(x0) DxR，f(x)f(x0)考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案C解析当a0时，函数f(x)ax2bxc的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2axb0，则x0为抛物线顶点的横坐标，f(x)minf(x0)，故对于xR，f(x)f(x0)成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题二、填空题8.“若|x|+|y|=0，则x，y全为0”的否定为 .答案若|x|+|y|=0，则x，y不全为09.函数y=x+b的值随x的增加而增加的否定为 .答案若x增加，则函数y=x+b的值不增加10设命题p：xR，x2ax20，若p为假，则实数a的取值范围是_考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的真假求参数的取值范围答案(，)解析綈p：x0R，xax020为真命题，显然aR.11命题“对任意xR，都有|x2|x4|3”的否定是_.考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案x0R，|x02|x04|3三、解答题12若命题“x1，)，x22ax2a”是真命题，求实数a的取值范围考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围解x22ax2a，即x22ax2a0，令f(x)x22ax2a，所以全称命题转化为“x1，)，f(x)0恒成立”，所以0或即2a1或3a2，所以3a1.故所求实数a的取值范围为3,113已知p：a(0，b(bR且b0)，函数f(x)sin的周期不大于4.(1)写出綈p；(2)当p是假命题时，求实数b的最大值考点全称量词的否定题点全称量词的命题的否定解(1)綈p：a0(0，b(bR且b0)，函数f(x)sin的周期大于4.(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，所以a(0，b，4恒成立，解得a2，所以0b2，所以实数b的最大值是2.四、探究与拓展14关于x的函数yx2(a1)x2a对于任意a1,1的值都有y0，则实数x的取值范围为_考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围答案(，)(，)解析设f(a)x2(a1)x2a，则有f(a)(2x)ax2x，a1,1，当a1,1时，yf(a)0恒成立，对a的系数讨论如下：当x2时，f(a)20显然成立；当x2时，由f(a)0，a1,1恒成立，得即解得x或x.综上可得，x的取值范围为(，)(，)15给出两个命题，命题甲：关于x的不等式x2(a1)xa20的解集为，命题乙：函数y(2a2a)x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围(1)甲、乙中至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个真命题考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围解当甲命题为真时，(a1)24a20，解得a或a1.当乙命题为真时，2a2a1，解得a1或a.(1)甲、乙中至少有一个是真命题时，a的取值范围是.(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：当甲真乙假时，a的取值范围是；当甲假乙真时，a的取值范围是，故a的取值范围为.
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