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6.1数列的概念及其表示【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列的有关概念及性质1.了解数列的概念,数列的通项公式2.了解数列是自变量为正整数的一类函数,会用赋值法求数列的项2011天津,20,14分赋值法求数列的项、数列的通项公式不等式的证明分析解读了解数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列的通项公式与前n项和公式之间的关系,了解数列是自变量为正整数的一类函数.考查数列的有关概念和性质,培养学生的创新能力、抽象概括能力.本节内容在高考中分值约为5分,属于中低档题.破考点【考点集训】考点数列的有关概念及性质1.在数列an中,a1=0,an+1=3+an1-3an,则a2016=()A.23B.3C.0D.-3答案D2.已知数列an满足a1=1,且an=n(an+1-an)(nN*),则a2=;an=.答案2;n3.已知数列an满足an=3an-1+3n-1(nN*,n2),且a1=5,则an=.答案(n+4)3n-14.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=an+1-2n+2,a2=2,则an=.答案2,n=12n-2,n1炼技法【方法集训】方法1利用an与Sn的关系求通项1.已知数列an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018=()A.22018-1B.32018-6C.122018-72D.132018-103答案A2.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,则S6a6=()A.6332B.3116C.12364D.127128答案A3.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=(n+1)an2,则a2017=()A.2016B.2017C.4032D.4034答案B4.已知Sn为数列an的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列an的通项公式为.答案an=3,n=12n,n2方法2利用递推关系求数列的通项5.已知数列an中,a1=1,an+1=2an+1(nN*),Sn为其前n项和,则S5的值为()A.57B.61C.62D.63答案A6.在数列an中,a1=1,an+1=2anan+2,则数列an的通项an=.答案2n+17.已知数列an的前n项之和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则S10=.答案1078过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组(2011天津,20,14分)已知数列an与bn满足bnan+an+1+bn+1an+2=0,bn=3+(-1)n2,nN*,且a1=2,a2=4.(1)求a3,a4,a5的值;(2)设cn=a2n-1+a2n+1,nN*,证明cn是等比数列;(3)设Sk=a2+a4+a2k,kN*,证明k=14nSkak76(nN*).解析(1)由bn=3+(-1)n2,nN*,可得bn=1,n为奇数,2,n为偶数.又bnan+an+1+bn+1an+2=0,当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3=-3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4=-5;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a5=4.(2)证明:对任意nN*,a2n-1+a2n+2a2n+1=0,2a2n+a2n+1+a2n+2=0,a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0,-,得a2n=a2n+3,将代入,可得a2n+1+a2n+3=-(a2n-1+a2n+1),即cn+1=-cn(nN*).又c1=a1+a3=-1,故cn0,因此cn+1cn=-1.所以cn是等比数列.(3)证明:由(2)可得a2k-1+a2k+1=(-1)k,于是,对任意kN*且k2,有a1+a3=-1,-(a3+a5)=-1,a5+a7=-1,(-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1.将以上各式相加,得a1+(-1)ka2k-1=-(k-1),即a2k-1=(-1)k+1(k+1),此式当k=1时也成立.由式得a2k=(-1)k+1(k+3).从而S2k=(a2+a4)+(a6+a8)+(a4k-2+a4k)=-k,S2k-1=S2k-a4k=k+3,所以,对任意nN*,n2,k=14nSkak=m=1nS4m-3a4m-3+S4m-2a4m-2+S4m-1a4m-1+S4ma4m=m=1n2m+22m-2m-12m+2-2m+32m+1+2m2m+3=m=1n22m(2m+1)+3(2m+2)(2m-3)=223+m=2n52m(2m+1)+3(2n+2)(2n+3)13+m=2n5(2m-1)(2m+1)+3(2n+2)(2n+3)=13+5213-15+15-17+12n-1-12n+1+3(2n+2)(2n+3)=13+56-5212n+1+3(2n+2)(2n+3)76.对于n=1,不等式显然成立.思路分析本题主要考查等比数列的定义、数列求和的基础知识和基本计算.(1)由已知条件bn=3+(-1)n2,bnan+an+1+bn+1an+2=0,a1=2,a2=4,依次代入n=1,2,3,求出a3,a4,a5的值.(2)由bn=1,n为奇数,2,n为偶数和bnan+an+1+bn+1an+2=0得出a2n-1,a2n,a2n+1,a2n+2,a2n+3间的关系式,此步的目的是与cn=a2n-1+a2n+1形式统一,从而导出cn+1,cn的关系式,进而证明cn是等比数列.(3)由(2)问有a2k-1+a2k+1=(-1)k,通过累加得a2k-1=(-1)k+1(k+1),则有a2k=(-1)k+1(k+3).通过a2k,a2k-1的通项求出S2k-1,S2k的通项,代入到k=14nSkak,通过放缩推导证明.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标,14,5分)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.答案-632.(2015课标,16,5分)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.答案-1n3.(2016浙江,13,6分)设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.答案1;121C组教师专用题组1.(2013课标,14,5分)若数列an的前n项和Sn=23an+13,则an的通项公式是an=.答案(-2)n-12.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,An,和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是.答案an=3n-23.(2016课标,17,12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.解析(1)由题意得a2=12,a3=14.(5分)(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以an+1an=12.故an是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1.(12分)评析本题主要考查了数列的递推公式及等比数列的定义,属基础题.4.(2014大纲全国,17,10分)数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列;(2)求an的通项公式.解析(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1.所以bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是k=1n(ak+1-ak)=k=1n(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018天津南开基础训练,5)在数列an中,a1=3,an+an-1=4(n2),则a2018=()A.3B.1C.-3D.4答案B2.(2017天津一中3月月考,6)数列an满足a1=1,且对任意的nN*都有an+1=a1+an+n,则1a1+1a2+1a2016=()A.20152016B.20162017C.40322017D.40342017答案C3.(2017天津河东二模,7)若数列an,bn的通项公式分别为an=(-1)n+2016a,bn=2+(-1)n+2017n,且对任意nN*,an0,其前n项和Sn满足Sn2-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0.(1)求an的通项公式;(2)若bn=an-52n,求b2+b4+b2n.解析(1)由Sn2-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,得Sn-(n2+2n)(Sn+1)=0,由an0,可知Sn0,故Sn=n2+2n.当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-(n-1)2+2(n-1)=2n+1;当n=1时,a1=S1=3,符合上式,则数列an的通项公式为an=2n+1(nN*).(2)依题意,得bn=2n-42n=n-22n-1,则b2n=2n-222n-1=(n-1)14n-1,nN*,设Tn=b2+b4+b2n,故Tn=0+14+242+343+n-14n-1,而4Tn=1+24+342+n-14n-2.-得3Tn=1+14+142+14n-2-n-14n-1=1-14n-11-14-n-14n-1=134-3n+14n-1,故Tn=194-3n+14n-1.思路分析本题主要考查数列的通项公式和前n项和的求法,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.(1)由Sn2-(n2+2n-1)Sn-(n2+2n)=0,得Sn=n2+2n,再由an=Sn-Sn-1,能求出数列an的通项公式;(2)由(1)知bn=2n-42n=n-22n-1,利用错位相减法求出Tn.13.(2018天津河北一模,18)已知数列an的前n项和为Sn,且an=2-2Sn(nN*),数列bn是等差数列,且b5=14,b7=20.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若cn=anbn,nN*,求数列cn的前n项和Tn.解析(1)an=2-2Sn(nN*),an-1=2-2Sn-1(n2),an-an-1=-2an,即an=13an-1,当n=1时,a1=2-2S1,解得a1=23,数列an是以23为首项,13为公比的等比数列,an=213n.设数列bn的公差为d,则b1+4d=14,b1+6d=20,解得b1=2,d=3,bn=3n-1.(2)cn=anbn=2(3n-1)13n,Tn=2213+5132+8133+(3n-1)13n,13Tn=22132+5133+8134+(3n-1)13n+1,两式相减可得,23Tn=223+3132+133+134+13n-(3n-1)13n+1=223+3191-13n-11-13-(3n-1)13n+1,化简可得Tn=72-6n+723n.
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