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专题61 电磁感应中的动力学问题通过导体中的感应电流在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起。电磁感应和力学问题的综合,其联系桥梁是磁场对感应电流的安培力,因为感应电流与导体运动的加速度有相互制约的关系,这类问题中的导体一般不是做匀变速运动,而是经历一个动态变化过程再趋于一个稳定状态,故解这类问题时正确进行动态分析,确定最终状态是解题的关键。1电磁感应中的动力学问题分析思路 (1)电路分析：导体棒相当于电源，感应电动势相当于电源的电动势，导体棒的电阻相当于电源的内阻，感应电流I.(2)受力分析：导体棒受到安培力及其他力，安培力F安BIl或，根据牛顿第二定律列动力学方程：F合ma.(3)过程分析：由于安培力是变力，导体棒做变加速或变减速运动，当加速度为零时，达到稳定状态，最后做匀速直线运动，根据共点力平衡条件列平衡方程：F合0.2. 两种状态处理(1) 导体处于平衡态静止或匀速直线运动状态。处理方法：根据平衡条件合外力等于零列式分析。(2) 导体处于非平衡态加速度不为零。处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析，或结合功能关系分析。3两大研究对象及其关系电磁感应中导体棒既可看作电学对象(因为它相当于电源)，又可看作力学对象(因为感应电流产生安培力)，而感应电流I和导体棒的速度v则是联系这两大对象的纽带：【典例1】如图所示，在水平面内固定着U形光滑金属导轨，轨道间距为50 cm，金属导体棒ab质量为0.1 kg，电阻为0.2 ，横放在导轨上，电阻R的阻值是0.8 (导轨其余部分电阻不计)。现加上竖直向下的磁感应强度为0.2 T的匀强磁场。用水平向右的恒力F0.1 N拉动ab，使其从静止开始运动，则()A.导体棒ab开始运动后，电阻R中的电流方向是从P流向MB.导体棒ab运动的最大速度为10 m/sC.导体棒ab开始运动后，a、b两点的电势差逐渐增加到1 V 后保持不变D.导体棒ab开始运动后任一时刻，F的功率总等于导体棒ab和电阻R的发热功率之和【答案】B【典例2】一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图2所示，磁感应强度B0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为0.1 ，重力均为0.1 N，现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升(导体棒ab、cd与导轨接触良好)，此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确的是()A.ab受到的拉力大小为2 NB.ab向上运动的速度为2 m/sC.在2 s内，拉力做功，有0.4 J的机械能转化为电能D.在2 s内，拉力做功为0.6 J【答案】BC【典例3】 如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为的绝缘斜面上，两导轨间距为L.M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻可忽略。让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。(1) 由b向a方向看到的装置如右图所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；(2) 在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；(3) 求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。【答案】(1) 见【解析】图(2)gsin(3)【解析】(1)重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直斜面向上；安培力F，沿斜面向上。如图所示。(2) 当ab杆速度为v时，感应电动势EBLv，此时电路中电流Iab杆受到安培力FBIL根据牛顿运动定律，有mamgsinFmgsinagsin(3) 当mgsin时，ab杆达到最大速度vmvm.【跟踪短训】1. 如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是()A.ab中的感应电流方向由b到a B.ab中的感应电流逐渐减小C.ab所受的安培力保持不变 D.ab所受的静摩擦力逐渐减小【答案】D2. 如图所示，两根相距L平行放置的光滑导电轨道，与水平面的夹角均为，轨道间有电阻R，处于磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中，一根质量为m、电阻为r的金属杆ab，由静止开始沿导电轨道下滑。设下滑过程中杆ab始终与轨道保持垂直，且接触良好，导电轨道有足够的长度，且电阻不计。(1) 杆ab将做什么运动？(2) 若开始时就给ab沿轨道向下的拉力F使其由静止开始向下做加速度为a的匀加速运动(agsin)，求拉力F与时间t的关系式。【答案】(1) 见解析 (2) Fm(agsin)t【解析】(1) 金属杆受力如图所示，当金属杆向下滑动时，速度越来越大，安培力F安变大，金属杆加速度变小。随着速度的变大，加速度越来越小，ab做加速度越来越小的加速运动，最终加速度变为零，金属杆做匀速运动。课后作业1. 如图所示，两光滑平行导轨水平放置在匀强磁场中，磁场垂直导轨所在平面，金属棒ab可沿导轨自由滑动，导轨一端连接一个定值电阻R，金属棒和导轨电阻不计现将金属棒沿导轨由静止向右拉，若保持拉力F恒定，经时间t1后速度为v，加速度为a1，最终以速度2v做匀速运动；若保持拉力的功率P恒定，棒由静止经时间t2后速度为v，加速度为a2，最终也以速度2v做匀速运动，则()At2t1Bt1t2Ca22a1Da25a1【答案】B【解析】若保持拉力F恒定，在t1时刻，棒ab切割磁感线产生的感应电动势为EBLv，其所受安培力F1BIL，由牛顿第二定律，有Fma1；棒最终以2v做匀速运动，则F，故a1.若保持拉力的功率P恒定，在t2时刻，有ma2；棒最终也以2v做匀速运动，则，故a23a1，选项C、D错误由以上分析可知，在瞬时速度相同的情况下，恒力F作用时棒的加速度比拉力的功率P恒定时的加速度小，故t1t2，选项B正确，A错误2. 如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(dL)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动。t0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域。下列vt图象中，可能正确描述上述过程的是()【答案】D3. 如图所示，足够长的光滑导轨倾斜放置，导轨宽度为L，其下端与电阻R连接。导体棒ab电阻为r，导轨和导线电阻不计，匀强磁场竖直向上。若导体棒ab以一定初速度v下滑，则关于ab棒的下列说法正确的是()A.所受安培力方向水平向右B.可能以速度v匀速下滑C.刚下滑的瞬间ab棒产生的感应电动势为BLvD.减少的重力势能等于电阻R上产生的内能【答案】AB4. 如图两根足够长光滑平行金属导轨PP、QQ倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好。现在同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则()A.金属棒ab一直加速下滑B.金属棒ab最终可能匀速下滑C.金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势D.带电微粒可能先向N板运动后向M板运动【答案】ACD【解析】根据牛顿第二定律有mgsin BIlma，而I，qCU，UBlv，vat，联立解得a，因而金属棒将做匀加速运动，选项A正确，B错误；ab棒切割磁感线，相当于电源，a端相当于电源正极，因而M板带正电，N板带负电，选项C正确；若带电粒子带负电，在重力和电场力的作用下，先向下运动然后再反向向上运动，选项D正确。5. 如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距L0.4 m，导轨所在平面与水平面的夹角为30，其电阻不计。把完全相同的两金属棒(长度均为0.4 m)ab、cd分别垂直于导轨放置，并使每棒两端都与导轨良好接触。已知两金属棒的质量均为m0.1 kg、电阻均为R0.2 ，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B0.5 T，当金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下沿导轨向上匀速运动时，金属棒cd恰好能保持静止。(g10 m/s2)，则()A.F的大小为0.5 N B.金属棒ab产生的感应电动势为1.0 VC.ab棒两端的电压为1.0 V D.ab棒的速度为5.0 m/s【答案】BD6. 如图所示，光滑斜面的倾角30，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l11 m，bc边的边长l20.6 m，线框的质量m1 kg，电阻R0.1 ，线框通过细线与重物相连，重物质量M2 kg，斜面上ef(efgh)的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B0.5 T，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间做匀速运动，ef和gh的距离s11.4 m，(取g10 m/s2)，求： (1)线框进入磁场前重物的加速度；(2)线框进入磁场时匀速运动的速度v；(3)ab边由静止开始到运动到gh处所用的时间t；(4)ab边运动到gh处的速度大小及在线框由静止开始运动到gh处的整个过程中产生的焦耳热【解析】(1)线框进入磁场前，仅受到细线的拉力F，斜面的支持力和线框的重力，重物受到自身的重力和细线的拉力F.对线框由牛顿第二定律得Fmgsin ma对重物由牛顿第二定律得MgFMa又FF联立解得线框进入磁场前重物的加速度：a5 m/s2.(2)因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，则重物受力平衡：MgF1线框abcd受力平衡：F1mgsin FAab边进入磁场切割磁感线，产生的感应电动势EBl1v回路中的感应电流为I，ab边受到安培力为FABIL1联立解得Mgmgsin 代入数据解得v6 m/s.7. 如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成30角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B0.5 T质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得其在下滑过程中的最大速度为vm.改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图乙所示已知轨道间距为L2 m，重力加速度g取10 m/s2，轨道足够长且电阻不计 (1)当R0时，求杆ab匀速下滑过程中产生的感应电动势E的大小及杆中电流的方向；(2)求杆ab的质量m和阻值r；(3)当R4 时，求回路瞬时电功率每增加1 W的过程中合外力对杆做的功W.【答案】(1)2 Vba(2)0.2 kg2 (3)0.6 J【解析】(1)由图可知，当R0时，杆ab最终以v2 m/s的速度匀速运动，杆ab切割磁感线产生的电动势为：EBLv2 V根据楞次定律可知杆ab中电流方向为ba.(2)设杆ab下滑过程中的最大速度为vm，杆切割磁感线产生的感应电动势EBLvm由闭合电路欧姆定律：I杆ab达到最大速度时满足mgsin BIL0解得：vmRr由图象可知斜率为km/(s)1 m/(s)，纵截距为v02 m/s根据图象和上式可知图象的截距为r2 图象的斜率为1 m/(s)解得m0.2 kg，r2 . 8. 如图甲，在水平桌面上固定着两根相距L20 cm、相互平行的无电阻轨道P、Q，轨道一端固定一根电阻R0.02 的导体棒a，轨道上横置一根质量m40 g、电阻可忽略不计的金属棒b，两棒相距也为L20 cm。该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。开始时，磁感应强度B00.1 T。设棒与轨道间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。 (1)若保持磁感应强度B0的大小不变，从t0时刻开始，给b棒施加一个水平向右的拉力，使它由静止开始做匀加速直线运动。此拉力F的大小随时间t变化关系如图乙所示。求b棒做匀加速运动的加速度及b棒与轨道间的滑动摩擦力；(2)若从t0开始，磁感应强度B随时间t按图丙中图象所示的规律变化，求在金属棒b开始运动前，这个装置释放的热量。【答案】(1)5 m/s20.2 N(2)0.036 J (2)当磁感应强度均匀增大时，闭合电路中有恒定的感应电流I。以b棒为研究对象，它受到的安培力逐渐增大，静摩擦力也随之增大，当磁感应强度增大到b所受安培力F安与最大静摩擦力Ff相等时开始滑动感应电动势EL20.02 VI1 A棒b将要运动时，有F安BtILFf所以Bt1 T，根据BtB0t得t1.8 s，回路中产生的焦耳热为QI2Rt0.036 J。
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