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吉林省长春市十一高中2017-2018学年高一上学期期末考试数 学 试 题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选2.下列结论，正确的个数为（ ）（1）若都是单位向量，则（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（3）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量（4）直角坐标平面上的轴、轴都是向量A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】若，都是单位向量，则，故不正确；物理学中的作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量，因而它们是一对共线向量，故正确；方向为南偏西的向量与北偏东的向量在一条直线上，是共线向量，故正确；直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，故错误；故选3.函数的定义域为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得到：，解得故故选4.如图，点是平行四边形两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】中，中，中，故选5.已知，则角的终边所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】由可知：则的终边所在的象限为第四象限故选6.等腰三角形一个底角的正切值为，则这个三角形顶角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令底角为，则顶角为，则故选7.若方程的实根在区间上，则（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】C【解析】由题意知，则原方程为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间上，一个在区间上，所以或故选8.已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令，函数是关于的减函数，结合题意，得是区间上的增函数又在上总成立，解得故实数的取值范围是故选9.若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由函数f(x)a|x|满足0|f(x)|1，得0a1，当x0时，ylogalogax.又因为yloga为偶函数，图象关于y轴对称，所以选B.10.已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意点和是其相邻的两个对称中心得,又因为在区间内单调递减，所以，则，当时，=0，只有当时符合题意，故选点睛：本题考查正切函数的对称性及单调性，首先要明确正切函数的对称中心是又因为存在单调递减区间，故可以计算出的值，结合函数自身特点代入点坐标，即可算出的值。11.已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】设，则的最大值为故选12.记：.已知函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】即，函数关于中心对称则与的交点应为偶数个，且关于对称则故选点睛：本题主要考查了函数图象的对称性及函数的奇偶性，考查函数的图象平移。学生的易错点是不明确本题要考查的知识点是什么，不知道怎么正确利用两个函数的对称性（中心对称），确定两个函数的交点是关于对称，最后正确求和得出结论。13.已知幂函数的图象过点，则_【答案】0【解析】幂函数的图象过点，解得，14.已知，则_.【答案】【解析】，15.设是定义在上的偶函数，且满足，当时，则时，_.【答案】【解析】当时，则当时， 是定义在上的偶函数，时，点睛：本题是道函数性质综合题目，结合函数的周期性、奇偶性求解函数的解析式，当遇到的形式时，能够得到函数的周期为，在本题的求解过程中先求出当时的解析式，再依据偶函数图象关于轴对称即可求得结果。16.已知函数，若存在，使成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当时，当时，若，则恒成立，满足条件，若，则，若存在，使成立，则即若，则，满足条件，综上所述，点睛：本题考查了分段函数的单调性，依据题意进行分类讨论参量的取值范围，若，若，若三种情况，结合题意当满足时成立即可求出参数范围。17.设，.求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：由题意，易求，利用两角差的正弦即可求得的值；，又，从而求得的值。解析：（1）因为,所以,又，所以，所以 .（2）因为，所以，又所以，因为，所以.18.已知函数（1）解关于的不等式；（2）设函数，若的图象关于轴对称，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：由题意得，然后解不等式即可(2) 图象关于轴对称即为偶函数，即：成立，从而求得结果解析：（1）因为，所以，即：，所以，由题意，解得，所以解集为.（2） ，由题意，是偶函数，所以，有，即：成立，所以，即：，所以，所以，所以.19.某城市出租车的收费标准是：起步价5元（乘车不超过3千米）；行驶3千米后，每千米车费1.2元；行驶10千米后，每千米车费1.8元（1）写出车费与路程的关系式； （2）一乘客计划行程30千米，为了节省支出，他设计了三种乘车方案： 不换车：乘一辆出租车行30千米；分两段乘车：先乘一辆车行15千米，换乘另一辆车再行15千米；分三段乘车：每乘10千米换一次车问哪一种方案最省钱？【答案】（1）；（2）方案最省钱.【解析】试题分析：（1）车费f（x）与路程x的关系式为f（x）=（2）30公里不换车的车费为1.8304.6=49.4（元）；分别计算方案：行驶两个15公里的车费为（1.8154.6）2；方案：行三个10公里的车费为（1.210+1.4）3，半径即可得出试题解析：（1）解：设出租车行驶千米的车费为元，则 即 （2）解：方案30千米不换车的车费为：（元）； 方案：行驶两个15千米的车费为：（元）； 方案：行三个10千米的车费为：（元） 又所以方案最省钱.点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆错误在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.20.已知.求函数的最小正周期，对称轴方程及单调递减区间；若函数图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求函数的最小值，并求取得最小值时的的值.【答案】(1)； ；.（2），此时 .【解析】试题分析：利用周期公式求出函数的最小正周期；利用正弦函数的周期性，正弦函数的图象的对称性，得出对称轴方程，再根据正弦函数的单调性可求得函数的单调递减区间；按照题意得平移先求出函数解析式，然后由单调区间算最小值解析： .(1) 最小正周期是；，对称轴方程为；因为,所以,即：减区间为.（2）由题意，因为，所以，所以，所以，此时，所以.21.已知函数对一切实数均有成立，且.求函数的解析式；设,若不等式（为常数）在时恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：令，又得到，令，求得 即可得到函数的解析式；先求出，则，换元，令，然后分离参数，求得最值解析：（1）令,所以,又,所以.令,所以,所以,即.（2） ，所以，所以，令，所以，即时，恒成立，即 恒成立，因为，所以，所以，即.点睛：本题是一道有关抽象函数及其应用，函数恒成立问题，函数解析式的求解及常用方法，属于中档题。考查了学生处理此类抽象函数问题的方法，理解函数恒成立的条件，以及用特值法求函数关系式的能力，22.如图，在半径为,圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形，并且与的平分线平行，设.（1）试将长方形的面积表示为的函数；（2）若将长方形弯曲，使和重合焊接制成圆柱的侧面，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积（假设圆柱有上下底面）；为了节省材料，想从中直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面，请问是否可行？并说明理由.（参考公式：圆柱体积公式.其中是圆柱底面面积，是圆柱的高；等边三角形内切圆半径.其中是边长）【答案】（1） ；（2），直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面可行.【解析】试题分析：由题意得出，则根据 ，即可得到答案；由（1）取最大值，由圆柱底面面积 ,计算得 ，然后得,边长 ，内切圆半径，由圆柱底面半径,，做出判定解析：（1）由题意，又 ，所以 所以 .（2）由（1）取最大值时，所以，因为 ，设圆柱底面半径为,所以,所以圆柱底面面积 ,又 ,所以 ,因为,所以.在等边中,边长 ，内切圆半径,由圆柱底面半径,因为,所以直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面可行.23.已知函数，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.求的值；若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）故；（2）.【解析】试题分析：化简），由题意，得出，进而确定出，确定函数的解析式，最后将代入即可求得的值先将代入到函数中，然后使得在区间上单调递增必须要，进而可以确定的取值范围。解析：（1） ，由题意，即，所以，.从而，故.（2）因为 则当时，.由题意，所以 ，同时成立，解得的范围是.点睛：本题考查了运用三角恒等变换或者是降幂公式等进行化简，先求出函数解析式，然后再求得函数值，而区间内的单调性，只有代入即可，从而算出参量的取值范围
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