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考点规范练29等差数列及其前n项和一、基础巩固1.已知Sn为等差数列an的前n项和,a2+a8=6,则S9等于()A.272B.27C.54D.108答案B解析S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.2.已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.12答案B解析公差d=1,S8=4S4,8(a1+a8)2=44(a1+a4)2,即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.a10=a1+9d=12+9=192.3.记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案B解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.4.已知等差数列an的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为()A.110B.200C.210D.260答案C解析设an的前n项和为Sn.在等差数列an中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,又S4=30,S8=100,30,70,S12-100成等差数列,270=30+S12-100,解得S12=210.5.已知数列an是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是()A.18B.19C.20D.21答案C解析a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,则an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.6.在等差数列an中,若ana2n是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为()A.1B.1,12C.12D.0,1,12答案B解析特殊值验证法.若ana2n=1,则数列an是一个常数列,满足题意;若ana2n=12,设等差数列的公差为d,则an=12a2n=12(an+nd),化简,得an=nd,即a1+(n-1)d=nd,化简,得a1=d,也满足题意;若ana2n=0,则an=0,不符合题意.故选B.7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.答案184解析用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+87217=996,解得a1=65.所以a8=65+717=184.8.在数列an中,其前n项和为Sn,a1=1,a2=2,当整数n2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=.答案211解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n2),则数列an从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以S15=1+214+141322=211.9.若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.(1)求证:1Sn成等差数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明当n2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn-1Sn-1=2.又1S1=1a1=2,故1Sn是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1Sn=2n,Sn=12n.当n2时,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1).当n=1时,a1=12不适合上式.故an=12,n=1,-12n(n-1),n2.10.在等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.解(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以an的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=2n+35.当n=1,2,3时,12n+352,bn=1;当n=4,5时,22n+353,bn=2;当n=6,7,8时,32n+354,bn=3;当n=9,10时,42n+350,d0,则当Sn取得最大值时,n的值等于.答案16解析设an的公差为d,由a12=38a50,得a1=-765d,a12a5,即d0;当n17时,anb2b140b17b18,b15=a15a16a170,故S14S13S1,S14S15,S15S17S18.因为a15=-65d0,a18=95d0,所以a15+a18=-65d+95d=35d0,所以S16S14,所以Sn中S16最大.故答案为16.14.已知等差数列an的前n项和为Sn,a20,且1,a2,81成等比数列,a3+a7=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Snn的前n项和Tn取得最小值时n的值.解(1)a3+a7=-6=2a5,a5=-3.1,a2,81成等比数列,a22=181.又a20,a3a4,a3=9,a4=13,a1+2d=9,a1+3d=13,a1=1,d=4.通项公式an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,Sn=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2n-142-18.当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,bn=Snn+c=2n2-nn+c,b1=11+c,b2=62+c,b3=153+c.数列bn是等差数列,2b2=b1+b3,即62+c2=11+c+153+c,2c2+c=0,c=-12(c=0舍去),故c=-12.三、高考预测16.已知各项均为正数的等差数列an满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有an的和:20n116;n能够被5整除.解(1)a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)n同时满足:20n116;n能够被5整除,满足条件的n组成等差数列bn,且b1=20,d=5,bn=115,项数为115-205+1=20.bn的所有项的和为S20=2020+1220195=1350.又an=2n,即an=2bn,满足条件的所有an的和为2S20=21350=2700.
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