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课时分层作业 六十一 参 数 方 程(45分钟60分)1.(10分)将下列参数方程化为普通方程.(1)(2)【解析】(1)当x0时,因为将两式相除可得k=,将k=代入x=可得x=, 所以4x2+y2-6y=0.当x=0时,y=0,经检验,点(0,0)满足上式,又无论k取何值y6,故所求普通方程是4x2+y2-6y=0(y6).(2)由(sin +cos )2=1+sin 2=2-(1-sin 2),得y2=2-x.又因为x=1-sin 20,2,所以所求普通方程为y2=2-x,x0,2.2.(10分)若直线(t是参数)与圆(是参数)相切,求直线的倾斜角.【解析】直线(t是参数)的普通方程为y=xtan .圆(是参数)的普通方程为(x-4)2+y2=4,由于直线与圆相切,则=2,即tan 2=,解得tan =,由于0,),故=或.3.(10分)(2017江苏高考)在平面坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.【解析】直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),从而点P到直线l的距离d=,当s=时,dmin=.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.【变式备选】(2018南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处,极轴与x轴的非负半轴重合,且长度单位相同.直线l的极坐标方程为:sin =10,曲线C:( 为参数),其中 0,2).(1)试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程.(2)若点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.【解析】(1)因为sin =10,所以sin -cos =10,所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0.曲线C:( 为参数),消去参数可得曲线C的普通方程为x2+(y-2)2=4.(2)由(1)可知,x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2.圆心到直线l的距离为d=4,所以点P到直线l距离的最大值为4+2.4.(10分)已知曲线C的极坐标方程是-6cos +2sin +=0,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(3,3),倾斜角=.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程.(2)设l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|的值.【解析】(1)曲线C化为2-6cos +2sin +1=0,再化为直角坐标方程为x2+y2-6x+2y+1=0,化为标准方程为(x-3)2+(y+1)2=9,直线l的参数方程为即(t为参数),(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,整理得t2+4t+7=0,=(4)2-47=200,则t1+t2=-4,t1t2=7,所以|AB|=|t1-t2|=2.5.(10分)(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由可知圆C的极坐标方程为2+12cos +11=0.(2)由题意可得直线过原点且斜率存在,记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,由垂径定理及点到直线距离公式知:=,即=,整理得k2=,则k=.6.(10分)(2018福州模拟)在极坐标系中,曲线C1:sin 2=4cos ,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy,曲线C2的参数方程为:,曲线C:(t为参数).(1)求C1的直角坐标方程.(2)C与C1相交于点A,B,与C2相切于点Q,求的值.【解析】(1)因为x=cos ,y=sin ,由sin 2=4cos 得2sin2=4cos ,所以曲线C1的直角坐标方程为:y2=4x.(2)设Q(cos ,sin ),易知直线C的斜率k=,所以kOQ=-,即=tan =-.所以=-,故Q,取x0=,y0=-,不妨设A,B对应的参数分别为t1,t2,把代入y2=4x,化简得3t2-(8+2)t-8+1=0,易知0,t1+t2=.所以|AQ|-|BQ|=|t1+t2|=.【变式备选】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为( 为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin =2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)由得+y2=1.因为sin =sin +cos =2,所以x+y=4.所以C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y=4.(2)由题意,可设点P的直角坐标为,因为C2是直线,所以的最小值即为P到C2的距离d( )的最小值,d( )=.当且仅当 =2k+(kZ)时,d( )取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.
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