高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 函数的单调性学案 苏教版必修1.doc

函数的单调性一、考点突破1. 如何求解函数的单调区间；2. 利用函数的单调性求参数的取值范围。二、重难点提示重点：求函数的单调区间。难点：1. 从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2. 带参函数的最值问题，如何对参数进行讨论。 函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的注意1. 如果函数在区间上是单调递增函数或单调递减函数（两者只能居其一），那么就说函数在区间上具有单调性。2. 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。3. 函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质。【方法提炼】判断函数单调性的基本方法定义法设元，任取，且；作差；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差的正负）；下结论。（即指出函数在给定的区间D上的单调性）示例 已知a0，函数f（x）x （x0），证明函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，）上是增函数。思路分析：可利用定义法讨论函数的单调性。用定义法证明函数单调性的步骤：取值作差变形确定符号下结论。答案：证明：设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f（x1）f（x2）（x1x2a）。当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即，函数在（0，）上是减函数。当x1a，又 x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），函数f（x）在（，）上是增函数。例题1 若函数f（x）在（，1）上是减函数，求实数a的取值范围。思路分析：利用函数的单调性求参数的取值范围时，关键是要把参数看作已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较求参。答案：解：f（x）a，设任意x1x20，由于x1x21，所以x1x20，x110，x210，所以a10，即a1。故实数a的取值范围是（，1）。技巧点拨：已知函数单调性求参数的值或范围时，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的。例题2 设的定义域对于任意正实数恒有，且当时，（1）求的值； （2）求证：在上是增函数。思路分析：（1）求特殊点处的函数值可利用灵活赋值的方法解决。先求出的值，然后再利用2与互为倒数及求出的值。（2）由推出是解题的关键。答案：（1）解：令，代入到中，解得令，代入到中，又，。（2） 证据：任意取，且，则：，又当时，即，在上是增函数。技巧点拨：对于抽象函数（未给出具体解析式的函数）的求值问题，需要根据题目给出的已知条件进行灵活赋值，求出需要求的函数值；抽象函数单调性的证明仍然采用单调性的定义以及结合题目已知来进行。【综合拓展】巧用函数单调性解不等式解函数不等式问题的一般步骤：确定函数f（x）在给定区间上的单调性；将函数不等式转化为f（M）f（N）的形式；运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；解不等式或不等式组确定解集；【满分训练】已知函数若求实数的取值范围。 思路分析：画出函数的图象，结合图象可看出函数的单调性，再利用单调性将不等式中的“壳”给去掉，形成关于的不等式。答案：解：画出函数的图象如下：由函数图象可知，在上单调递增，所以等价转化为，解得。技巧点拨：利用函数单调性解不等式的关键：准确判断出函数单调性，成功去掉这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系。然后，解关于的简单不等式。