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第四讲 不等式一、选择题1已知互不相等的正数a，b，c满足a2c22bc，则下列等式中可能成立的是()AabcBbacCbcaDcab解析：若ab0，则a2c2b2c22bc，不符合条件，排除A，D；又由a2c22c(bc)得ac与bc同号，排除C；当bac时，a2c22bc有可能成立，例如：取a3，b5，c1.故选B.答案：B2已知ba0，ab1，则下列不等式中正确的是()Alog3a0B3abClog2alog2b0可得log3alog31，所以a1，这与ba0，ab1矛盾，所以A不正确；对于B，由3ab可得3ab31，所以ab1，可得a1a0，ab1矛盾，所以B不正确；对于C，由log2alog2b2可得log2(ab)2log2，所以aba0，ab12，所以aba0，ab1，所以3326, 所以D不正确，故选C.答案：C3在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xb)0的解集是(2,3)，则ab()A1B2C4D8解析：由题知(xa)(xb)(xa)1(xb)0，即(xa)x(b1)0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(xa)x(b1)0的两根之和等于5，即ab15，故ab4.答案：C4已知aR，不等式1的解集为P，且2P，则a的取值范围为()A(3，)B(3,2)C(，2)(3，)D(，3)2，)解析：2P，1或2a0，解得a2或af(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)解析：由题意得，f(1)3，所以f(x)f(1)，即f(x)3.当x3，解得3x3，解得x3或0x1.综上，不等式的解集为(3,1)(3，)答案：A7已知实数x，y满足如果目标函数z3x2y的最小值为0，则实数m等于()A4B3C6D5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z3x2y所对应的直线经过点A时，z取得最小值0.由求得A.故z的最小值为32，由题意可知0，解得m5.答案：D8若对任意正实数x，不等式恒成立，则实数a的最小值为()A1B.C.D.解析：因为，即a，而(当且仅当x1时取等号)，所以a.答案：C9(2018太原一模)已知实数x，y满足条件则zx2y2的取值范围为()A1,13B1,4CD解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得zx2y2的最小值为点O到直线BC：2xy20的距离的平方，所以zmin2，最大值为点O与点A(2,3)的距离的平方，所以zmax|OA|213，故选C.答案：C10(2018衡水二模)若关于x的不等式x24ax3a20)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最小值是()A.B.C.D.解析：关于x的不等式x24ax3a20)的解集为(x1，x2)，16a212a24a20，又x1x24a，x1x23a2，x1x24a4a2，当且仅当a时取等号x1x2的最小值是.答案：C11某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元B36 000元C36 800元D38 400元解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5,12)时，有最小值zmin36 800(元)答案：C12(2018淄博模拟)已知点P(x，y)(x，y)|M(2，1)，则(O为坐标原点)的最小值为()A2B4C6D8解析：由题意知(2，1)，(x，y)，设z2xy，显然集合(x，y)|对应不等式组所表示的平面区域作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z2xy对应的直线经过点A时，z取得最小值由得A(2,2)，所以目标函数的最小值zmin2(2)26，即的最小值为6，故选C.答案：C二、填空题13(2018青岛模拟)若a0，b0，则(ab)的最小值是_解析：(ab)213，因为a0，b0，所以(ab)3232，当且仅当，即ab时等号成立所以所求最小值为32.答案：3214(2018高考全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，xy取得最大值斜率为1的直线xyz(z看做常数)的横截距最大，由图可得直线xyz过点C时z取得最大值由得点C(5,4)，zmax549.答案：915(2018石家庄模拟)若x，y满足约束条件则z的最小值为_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z表示区域内的点与点P(3,2)连线的斜率由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3)，即kxy3k20，则有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin.答案：16已知ab1，且2logab3logba7，则a的最小值为_解析：令logabt，由ab1得0t1,2logab3logba2t7，得t，即logab，ab2，所以aa11213，当且仅当a2时取等号. 故a的最小值为3.答案：3
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