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第6课时函数的极值与导数基础达标(水平一)1.函数f(x)=sin x+x2,x(0,)的极大值是().A.32+6B.-32+3C.32+3D.1+4【解析】f(x)=cos x+12,x(0,),由f(x)=0,即cos x=-12,得x=23,x0,23时,f(x)0;x23,时,f(x)0,x=23时,f(x)有极大值f23=32+3.【答案】C2.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数的图象如图所示,则函数f(x)的极小值是().A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c【解析】由f(x)的图象可知,当x(-,0)(2,+)时,f(x)0.f(x)在(-,0)和(2,+)上为减函数,在(0,2)上为增函数.当x=0时,f(x)取到极小值为f(0)=c.【答案】D3.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为().A.1,-3B.1,3C.-1,3D.-1,-3【解析】f(x)=3ax2+b,由题意可知f(1)=3a+b=0,f(1)=a+b=-2,解得a=1,b=-3.【答案】A4.若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2在x=1处有极值,则ab的最大值为().A.2 B.3 C.6 D.9【解析】f(x)=12x2-2ax-2b.由于函数f(x)在x=1处有极值,则有f(1)=0,即a+b=6(a,b0),由于a+b2ab,即aba+b22=9,当且仅当a=b=3时取最大值9.【答案】D5.直线y=a与函数y=13x3-x2的图象有三个相异的交点,则实数a的取值范围是.【解析】f(x)=x2-2x,令f(x)=0,得x=0或x=2.f(0)=0,f(2)=-43,-43a0.【答案】-43a06.若a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=.【解析】f(x)=3x2-12,当x0;当-2x2时,f(x)2时,f(x)0.x=2是f(x)的极小值点.又a为f(x)的极小值点,a=2.【答案】27.求函数f(x)=x2ex的极值.【解析】函数f(x)的定义域为R,f(x)=2xex-x2ex(ex)2=x(2-x)ex,令f(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)-0+0-f(x)04e-2由上表可以看出,当x=0时,函数取得极小值,且为f(0)=0;当x=2时,函数取得极大值,且为f(2)=4e-2.拓展提升(水平二)8.设函数f(x)=xex,则().A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点【解析】f(x)=xex,f(x)=ex+xex=ex(1+x).当f(x)0,即ex(1+x)0时,解得x-1,当x-1时,函数f(x)为增函数.同理可得,当x0,f(-1)0,故不满足.【答案】D10.已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:函数f(x)在区间(1,+)上是增函数;函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性;函数f(x)在x=-12处取得极大值;函数f(x)在x=1处取得极小值.其中正确的说法有.【解析】从图象上可以发现,当x(1,+)时,xf(x)0,所以f(x)0,故f(x)在区间(1,+)上是增函数,正确;当x(-1,1)时,f(x)0时,令f(x)0,解得xm或xm3;令f(x)0,解得m3xm,函数f(x)在-,m3上单调递增,在m3,m上单调递减,在(m,+)上单调递增,f(x)在x=m3处取得极大值fm3=12,解得m=32.当m0,解得xm3;令f(x)xm,函数f(x)在(-,m)上单调递增,在m,m3上单调递减,在m3,+上单调递增,f(x)在x=m处取得极大值f(m)=12,而f(m)=0,不成立,综上,m=32.
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