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第3讲平面向量考情考向分析1.江苏高考对平面向量侧重基本概念与基本计算的考查重点是向量的数量积运算.2.向量作为工具，常与三角函数、数列、解析几何等结合，考查向量的综合运用解题时要注意解析法和转化思想的渗透热点一平面向量的线性运算例1(1)如图，在ABC中，DEBC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设a，b，用a，b表示向量，则_.答案(ab)解析因为DEBC，所以DNBM，则ANDAMB，所以.因为，所以.因为M为BC的中点，所以()(ab)，所以(ab)(2)(2018江苏启东中学模拟)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB3CD，点E是BC的中点若xy，其中x，yR，则xy的值为_答案解析由题意得，()(3)(33)2，故xy.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意向量共线定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系跟踪演练1(1)已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC135，设(R)，则的值为_答案解析由AOC135知，点C在直线yx(x0)上，设点C的坐标为(a，a)，a0，(R)，有(a，a)(1，)，得a1，a，消去a得.(2)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中，则的值为_答案解析，2.由向量加法的平行四边形法则可知，()2，由E，F，K三点共线，得21，可得.热点二平面向量的数量积例2(1)(2018江苏兴化一中模拟)在ABC中，点D，E分别在线段AC，BC上，若AE，BD相交于点F，且|，则_.答案3解析如图，由已知，得0，()()0，0，()0，即0，BDAE，在RtBEF中，|23.(2)(2018江苏扬州中学模拟)如图，已知ACBC4，ACB90，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最小值是_答案84解析以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2,0)，C(2，0)，O(0,0)，M(2，2)，设D(2cos ，2sin )，(4，2)，(22cos ，2sin )，4(22cos )4sin 84sin()，其中tan 2，sin()1,1，()min84.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用(2)求解几何图形中的数量积问题，把向量分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算，也是一种较为简捷的方法跟踪演练2(1)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2.若3，则_.答案解析方法一设4a，3b，其中|a|b|1，则2a，2b.由()()3，得(3b2a)(2b4a)3，化简得ab，所以12ab.方法二以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(4,0)，设D(3cos ，3sin )，则C(3cos 2,3sin )，M(2cos ，2sin )由3，得(3cos 2,3sin )(2cos 4,2sin )3，化简得cos ，所以12cos .(2)如图，已知在ABC中，ABAC4，BAC90，D是BC的中点，若向量m，且的终点M在ACD的内部(不含边界)，则的取值范围是_答案(2,6)解析()1616m216m23，由平行四边形法则可得m，所以的取值范围是(2,6)热点三平面向量的综合问题例3(1)已知正实数x，y满足向量a(xy,2)，b(xy2，1)共线，c，且a(ac)0恒成立，则实数m的取值范围是_答案解析由a(xy,2)，b(xy2,1)共线得xy2(xy2)，则xy42xy，即(xy)22(xy)80，当且仅当xy时等号成立又由x，y是正实数，得xy4.不等式a(ac)0，即a2ac，所以(xy)24m(xy)3，即(xy)2m(xy)10，令xyt，t4，则t2mt10，t4，)(*)对于方程t2mt10，当m240，即2m2时，(*)式恒成立；当m2时，相应二次函数yt2mt1的对称轴t2时，由相应二次函数yt2mt1的对称轴t4，且164m10，得2m.综上可得，当m时，(*)式恒成立，则实数m的取值范围是.(2)在ABC中，若2，则的值为_答案解析方法一由2，得2bcacab，化简可得ac.由正弦定理得.方法二作AOBC，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，所以(c，a)，(b，a)，(cb,0)，(b，a)，(c，a)，(bc,0)，则由2，得b22cb2a2c20，所以b22cbc2(cb)22(a2b2)，所以BCAB.由正弦定理得.思维升华向量和三角函数、解析几何、不等式等知识的交汇是高考的热点，解决此类问题的关键是从知识背景出发，脱去向量外衣，回归到所要考查的知识方法跟踪演练3(1)若向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|ab|2ab，则cos()的值是_答案1解析因为|ab|2ab，所以2cos()，且cos()0，所以22cos()4cos2()，2cos2()cos()10，所以cos()1或cos()(舍去)，所以cos()1.(2)设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m，n，点P(x，y)在ysin x的图象上运动，Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是_答案解析令Q(c，d)，由新的运算，可得mn，消去x，得dsin，yf(x)sin，易知yf(x)的值域是.1(2016江苏)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_答案解析设a，b，则(a)(b)ab4.又D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则()ab，ab.ab，aabab，babab，则a2b2ab(a2b2)41，可得a2b2.又aabab，babab，则(a2b2)ab4.2(2017江苏)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1,1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_.答案3解析如图，设m，n，则在ODC中，有ODm，DCn，OC，OCD45，由tan 7，得cos ，又由余弦定理知，即得42nm0，即m105n，代入得12n249n490，解得n或n，当n时，m1050(舍去)，当n时，m105，故mn3.3(2018全国)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.答案解析由题意得2ab(4,2)，因为c(2ab)，所以42，得.4(2018扬州树人学校模拟)在ABC中，AH是底边BC上的高，点G是三角形的重心，若AB2，AC4，BAH30，则()_.答案6解析如图，在ABC中，AH是底边BC上的高，AB2，BAH30，AH.由题意得.点G是ABC的重心，()()()(22)4.又|cosDAH|22.()246.5(2018江苏盐城中学模拟)在ABC中，ABAC，AB，ACt，P是ABC所在平面内一点，若，则PBC面积的最小值为_答案解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(0,0)，B，C(0，t)，(4,0)(0,1)(4,1)，P(4,1)又|，BC的方程为tx1，点P到直线BC的距离为d，PBC的面积为SBCd，当且仅当4t，即t时取等号，PBC面积的最小值为.6(2017江苏)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)ab，3sin xcos x，3sin xcos x0，2sin0，即sin0，0x，x，x，x.(2)f(x)ab3cos xsin x2sin.x0，x，sin1，2f(x)3，当x，即x0时，f(x)取得最大值3；当x，即x时，f(x)取得最小值2.A组专题通关1设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_.答案1解析由|ab|，得|ab|210，即a22abb210.又|ab|，所以a22abb26，由，得4ab4，则ab1.2在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则xy_.答案解析()，x，y，xy.3已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a，c的夹角大小为_答案120解析设a与c的夹角为，a(1,2)，b(2，4)，则b2a，(ab)cac，ac.cos ，0180，120.4已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_答案3解析a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.5(2018淮安模拟)如图，在ABC中，已知AB3，AC2，BAC120，D为边BC的中点若CEAD，垂足为E，则的值为_答案解析()()2，由余弦定理，得BC，得cos C，AD，SACD，所以CE，所以.6在ABC中，已知23，则cos C的最小值是_答案解析已知23，可得bccos A2accos B3abcos C，由余弦定理得a22b23c2，由cos C，当ba时取到等号，故cos C的最小值为.7已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则k的值为_答案解析因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1e2|e1|e2|cose1，e2cos ，又ab0，所以(e12e2)(ke1e2)0，即k2(2k)0，解得k.8(2018南通模拟)在ABC中，AB5，AC4，且12，设P是平面ABC上的一点，则()的最小值是_答案解析由AB5，AC4，且12，得cos A，如图，以A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(4,0)，B(3,4)，设点P的坐标为P(x，y)，则()(x，y)(72x,42y)2x27x2y24y222(y1)2，即()的最小值是.9设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中0，若|2ab|a2b|，求的值解因为|2ab|a2b|，所以|2ab|2|a2b|2，所以8ab3(|a|2|b|2)0，所以ab0.又因为a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，所以abcos cos sin sin cos()0，因为0，所以.10(2018苏北六市调研)在平面直角坐标系xOy中，设向量a(cos ，sin )，b(sin ，cos )，c.(1)若|ab|c|，求sin()的值；(2)设，0，且a(bc)，求的值解(1)因为a(cos ，sin )，b(sin ，cos )，c，所以|a|b|c|1，且abcos sin sin cos sin()因为|ab|c|，所以|ab|2c2，即a22abb21，所以12sin()11，即sin().(2)因为，所以a.故bc.因为a(bc)，所以0.化简得，sin cos ，所以sin.因为0，所以0.又D，O，C三点共线及D为AB的中点，便可得出(1)，从而由平面向量基本定理得所以k，所以xy.12(2018江苏海门中学模拟)如图，在扇形AOB中，OA4，AOB120，P为弧AB上的一点，OP与AB相交于点C，若8，则的值为_答案4解析由题意可知，44cosAOP8，则cosAOP，AOP60，结合平面几何知识可得OCPCOP，由向量的运算法则可知()()4284.13已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.14(2018江苏泰州中学模拟)如图，在ABC中，ABAC1，BAC.(1)求的值；(2)设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且xy，其中x，yR.求xy的取值范围解(1)()|21.(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(1,0)，C.设P(cos ，sin )，由xy，得(cos ，sin )x(1,0)y.所以cos x，sin y.所以xcos sin ，ysin ，xysin cos sin2sin 2(1cos 2)sin.因为，2，所以当2，即时，xy的最大值为1；当2或2，即0或时，xy的最小值为0.故xy的取值范围是0,1
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