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第05节 导数的综合应用班级_ 姓名_ 学号_ 得分_一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【2018届山东省实验中学二模】函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C2.如图所示，连结棱长为2的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，注满为止.已知顶点到水面的高度以每秒1匀速上升，记该容器内水的体积与时间的函数关系是，则函数的导函数的图像大致是（ ）【答案】D【解析】正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为，高为2，设时间为t时，当t1时，此时水面的边长为b，则，则水面的面积为，该容器内水的体积，当t1时，此时水面的边长为c，则，则水面的面积为，该容器内水的体积，3 “函数存在零点”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分不用必要条件【答案】B【解析】 ,所以若函数存在零点,则 ,因此“函数存在零点”是“”的必要不充分条件,选B.4. 【2018届云南省玉溪市高三适应性训练】函数，则使得成立的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出函数的导函数，通过解析式可以判断出当时.而在左右两侧单调性不同，所以可以根据函数两侧的单调性及在处取得极小值的性质，求出不等式的解集.详解： 且令 得 所以当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增；若，则 或 解不等式得或即 的解集为C. 5.【2018届北京市十一学校三模】已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意可知有解，即在有解，求导数，确定函数的单调性，可知m的范围.解析：函数与的图象上存在关于对称的点， 有解， ， 在有解，函数在上单调递增，在上单调递增， .故选：D.6.【2018届安徽省淮南市二模】函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析: 由方程f（x）=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=kx有2个交点，又k表示直线y=kx的斜率，数形结合求出k的取值范围详解: 方程f（x）=kx恰有两个不同实数根，y=f（x）与y=kx有2个交点，又k表示直线y=kx的斜率，x1时，y=f（x）=lnx，y=；设切点为（x0，y0），则k=，切线方程为yy0=（xx0），又切线过原点，y0=1，x0=e，k=，如图所示；结合图象，可得实数k的取值范围是.故答案为：C7.【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知函数，则（ ）A. 当时，在单调递减 B. 当时，在单调递减C. 当时，在单调递增 D. 当时，在单调递增【答案】D【解析】分析：求导然后分析函数单调性根据a，b取值情况，重点分析最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论详解：，当令则，所以 h（x）在（0,2）递减， （2，）递增， h（x）的最小值是h（2）=0，所以则 在单调递增，选D8【四川省成都市2018年高考模拟试卷（一）】己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意，函数，得，得到函数的单调性与最大值，再又方程，解得或，结合图象，即可求解.要使得方程恰有三个不同的实数解，则，解得，故选C.9.【2018届安徽省示范高中（皖江八校）5月联考】设函数 (为自然对数的底数），当时恒成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D分别作出的图像，要使的图象在的图象下方，设切点，切线为，即，由切线过得，解得或或，由图像可知.故选D.10.【2018届江西师范大学附属中学三模】已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，即.故答案为：B二、填空题：本大题共7小题，共36分11.【2018届湖南省衡阳市二模】函数的图象与二次函数的图象恰有两个不同的交点，则实数的值是_ 【答案】【解析】当x0时，函数的图像与二次函数的图象恰有一个交点，设当x0时， 的图像与相切于点，因为故填.点睛:解答与曲线切线有关的问题,如果不知道切点，一般都要设切点,再求切线的方程. 再利用其它条件转化求解.本题就是按照这种技巧解答的.12.【2018届江苏省南京市三模】已知为自然对数的底数若存在，使得函数在上存在零点，则的取值范围为_【答案】【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.当直线y=ax+b过点且与相切时，最小，设切点为，则切线方程为，此时所以a的最小值为所以的取值范围为.故答案为：点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.13【2018届山西省孝义市一模】当，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：先分离参数得到a，构造函数f（x）=利用导数求出函数的最值即可求解实数a的取值范围详解：x1时，不等式（x1）ex+1ax2恒成立（x1）exax2+10恒成立，a，在（1，+）恒成立，设f（x）=，f（x）=x2ex2（x1）ex+2=ex（x22x+2）+2=ex（x1）2+1+20恒成立，f（x）0，在（1，+）恒成立，f（x）在（1，+）单调递增，f（x）minf（1）=1，a1.故填（，1点睛：本题的关键是分离参数得到a，再构造函数f（x）=利用导数求出函数的最小值即可求解实数a的取值范围处理参数问题常用分离参数的方法，可以提高解题效率，优化解题.14【2018届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考冲刺（三）】若关于的方程在上有两个不同的解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】分析：方程可通过变量分离得到，设，求导得到函数的单调性及最值，从而可得参数范围.若方程存在两个不同解，则，设，则在上单调递增，且，在上单调递减，上单调递增，在上恒成立，若方程存在两个不同解，则，即.故答案为：.15【2018届广东省肇庆市三模】已知函数，若有且只有一个整数根，则的取值范围是_.【答案】点睛：本题主要的技巧是分离函数和数形结合分析.把有且只有一个整数根等价转化为是本题的关键，这里主要是利用了数形结合的思想.16【2018届云南省昆明第一中学第八次月考】设函数（为非零实数），若函数有且仅有一个零点，则的取值范围为_.【答案】【解析】分析：先令函数，得，构造新函数，利用导数研究函数的单调性及极值，再根据函数有且仅有一个零点等价于函数与有且仅有一个交点，即可求得的取值范围.详解：令，得.设，则.令，得，即在上为单调递增；令，得或，即在和单调递减.当时，；当时，.函数有且仅有一个零点函数与有且仅有一个交点故答案为.点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解17【2018届宁夏银川4月检测】已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出以下命题：当时，；函数有个零点；若关于的方程有解，则实数的取值范围是；对恒成立，其中，正确命题的序号是_【答案】【解析】依题意，令，则，所以，即，故正确；当时，当时，即函数在上为减函数，当时，即函数在上为增函数，因为，所以在上，在上，由此可判断函数在上仅有一个零点，由对称性可得函数在上有一个零点，又因为，故该函数有个零点，故错误；作出函数的图象如图所示：若方程有解，则，且对恒成立，故错误，正确.故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知函数(I)求函数的导函数；()证明:(为自然对数的底数)【答案】（I）（）见解析.（）设，则函数在单调递减，且，所以存在，使，即，所以 ，所以，且在区间单调递增，区间单调递减所以 19.【2018届浙江省金华市浦江县高考适应性考试】已知函数（）求函数在点处的切线方程；（）求证：【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求切线方程先求导，然后代入切点横坐标的出切线斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可.（）所以则切线方程为（）令则设的两根为，由于不妨设则在是递减的，在是递增的，而所以在单调递增，所以，因为所以.点睛：考查导数的几何意义和单调性最值的应用，属于常规题.20【腾远2018年（浙江卷）红卷】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）由题意求得，令得 或，分类讨论即可求解函数的单调区间；（2）由（1）知，当时，函数的单调性，求得函数的极大值与极小值，又由要对任意的 恒成立，结合图象得，即可求解. （2）因为，则.且由（1）知，当时，函数在上单调递增，在单调递减，所以函数的极大值与极小值分别为.若要对任意的恒成立，结合图象可知只需满足即可，解得.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.21已知函数，其中（1）若在区间上为增函数，求的取值范围；（2）当时，证明：；（3）当时，试判断方程是否有实数解，并说明理由【答案】（1）；（2）见解析；（3）无解.【解析】分析：（1）解不等式得到a的范围. (2)证明的最大值小于等于零.(3) 设，再，最后判断方程没有实数解详解：（1）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立，即，在上恒成立，则（2）当时，令，得，令，得，所以函数在单调递增；令，得，所以函数在单调递减，所以，所以成立（3）由（2）知，所以设，所以令，得，令，得，所以函数在单调递增；令，得，所以函数在单调递减，所以，即，所以，即所以方程没有实数解点睛：（1）本题主要考查利用导数解决函数单调性问题、最值和零点问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是利用导数研究零点问题，把零点问题转化为最值问题，所以方程没有实数解22【2018届浙江省宁波市高三上期末】已知函数.（）若方程只有一解，求实数的取值范围；（）设函数，若对任意正实数， 恒成立，求实数的取值范围.【答案】() ；() .【解析】试题分析：（）利用导数研究函数的单调性，可得函数在上单调递减，函数在区间上单调递增，根据单调性可得时， ， 时， ,且，结合函数图象可得结果；（）由（）知，对任意正实数， 恒成立，等价于，先排除，当时，利用导数可得，所以.（）由（）知.所以对任意正实数， 恒成立，等价于.（1）当时， ，与式矛盾，故不合题意.（2）当时，当时， ，当时， ，所以在上单调递增，在区间上单调递减.，所以.综合（1）（2）知实数的取值范围为.
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