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2.4.1抛物线及其标准方程学习目标1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题知识点一抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于11)知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？答案(1)是关于x，y的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围(2)p的几何意义是焦点到准线的距离梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0)现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形焦点坐标准线方程xxyyp的几何意义焦点到准线的距离(1)抛物线的方程都是二次函数()(2)抛物线的焦点到准线的距离是p.()(3)抛物线的开口方向由一次项确定()类型一抛物线的定义及应用例1(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A1B2C4D8考点抛物线定义题点抛物线定义的直接应用答案A解析由题意，知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义，得x0|AF|x0，所以x01，故选A.(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则P点的轨迹方程是()Ay216xBy232xCy216xDy232考点抛物线定义题点抛物线定义的直接应用答案C解析点P到点(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，将直线x50右移1个单位，得直线x40，即x4，易知点P到直线x4的距离等于它到点(4,0)的距离根据抛物线的定义，可知P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x4为准线的抛物线设抛物线方程为y22px(p0)，可得4，得2p16，抛物线的标准方程为y216x，即P点的轨迹方程为y216x，故选C.反思与感悟依据抛物线定义可以实现点线距离与线线距离的转化跟踪训练1(1)抛物线x24y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为_考点抛物线定义题点抛物线定义的直接应用答案(6,9)或(6,9)解析设点P(x0，y0)，由抛物线方程x24y，知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1，由抛物线的定义，得|PF|y0110，所以y09，代入抛物线方程得x06.(2)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|PF|，则PMF的面积为()A4B8C16D32考点抛物线定义题点抛物线定义的直接应用答案B解析如图所示，易得F(2,0)，过点P作PNl，垂足为N.|PM|PF|，|PF|PN|，|PM|PN|.设P，则|t|2，解得t4，PMF的面积为|t|MF|448.类型二求抛物线的标准方程例2分别求符合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)设抛物线的标准方程为y22px或x22py(p0)，又点(3,2)在抛物线上，2p或2p，所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)当焦点在y轴上时，已知方程x2y40，令x0，得y2，所求抛物线的焦点为(0，2)，设抛物线的标准方程为x22py(p0)，由2，得2p8，所求抛物线的标准方程为x28y；当焦点在x轴上时，已知x2y40，令y0，得x4，抛物线的焦点为(4,0)，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由4，得2p16，所求抛物线的标准方程为y216x.综上，所求抛物线的标准方程为x28y或y216x.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值跟踪训练2根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)双曲线方程可化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)且3，p6，抛物线的方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义，得5|AF|.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.类型三抛物线的实际应用问题例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航反思与感悟涉及拱桥，隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练3如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多长？(精确到1m)考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用解如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)依题意有P(1，1)在此抛物线上，代入得p，故抛物线方程为x2y.又B在抛物线上，将B(x，2)代入抛物线方程得x，即|AB|，则|OB|OA|AB|1，因此水池的直径为2(1)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m.1(2017牌头中学期中)准线方程为y4的抛物线的标准方程是()Ax216yBx28yCx216yDx28y答案C解析由题意可设抛物线方程为x22py(p0)，抛物线的准线方程为y4，p8，该抛物线的标准方程为x216y，故选C.2以F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是()Ax4y2By4x2Cx24yDy24x考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程答案D解析抛物线焦点为F(1,0)，可设抛物线方程为y22px(p0)，且1，则p2，抛物线方程为y24x.3已知抛物线x24y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是()A0B.C1D2考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案C解析根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1，根据抛物线定义，得yM12，解得yM1.4一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x24y上，则l的方程为()Ax1BxCy1Dy考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案C解析因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x24y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y1.5动点P到直线x40的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是_考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案y28x解析由题意可知，动点P到直线x20的距离与它到点M(2,0)的距离相等，利用抛物线定义求出方程1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F，准线方程为y.2设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0.3对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题一、选择题1对抛物线y4x2，下列描述正确的是()A开口向上，焦点为(0,1)B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为(1,0)D开口向右，焦点为考点求抛物线的焦点坐标及准线方程题点求抛物线的焦点坐标答案B解析由y4x2，得x2y，所以开口向上，焦点坐标为.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)考点求抛物线的焦点坐标及准线方程题点求抛物线的焦点坐标答案B解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题设知1，即p2，故焦点坐标为，故选B.3已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4B2C4或4D12或2考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案C解析由题可设抛物线的标准方程为x22py(p0)，由定义知点P到准线的距离为4，故24，p4，x28y.将点P的坐标代入x28y，得m4.4若动圆的圆心在抛物线yx2上，且与直线y30相切，则此圆恒过定点()A(0,2) B(0，3)C(0,3) D(0,6)考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案C解析直线y30是抛物线x212y的准线，由抛物线的定义，知抛物线上的点到直线y3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)5已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|PQ|的最小值为()A7B8C9D10考点抛物线的定义题点抛物线定义与其他知识结合的应用答案C解析抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1.|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|PQ|的最小值为9.故选C.6如果P1，P2，Pn是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，若x1x2xn10，则|P1F|P2F|PnF|等于()An10Bn20C2n10D2n20考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案A解析由抛物线的方程y24x可知其焦点为(1,0)，准线为x1，由抛物线的定义可知|P1F|x11，|P2F|x21，|PnF|xn1，所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10，故选A.7已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是()A.B.C.D25考点抛物线的定义题点抛物线定义与其他知识结合的应用答案A解析抛物线的焦点F坐标为(2,0)，直线l的方程为y(x2)由得B点的坐标为.|AB|AF|BF|282，AB的中点到准线的距离为.二、填空题8(2017牌头中学期中)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_；准线方程为_答案2x19若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案2解析双曲线x2y21的左焦点为(，0)，所以，故p2.10以椭圆1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_考点抛物线的标准方程题点求抛物线的标准方程答案y216x解析椭圆的方程为1，右顶点为(4,0)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则4，即p8，抛物线的标准方程为y216x.11已知P为抛物线y24x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，|PA|d的最小值为_考点抛物线的定义题点抛物线定义与其他知识结合的应用答案1解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线l：x1.由题意得d|PF|1，|PA|d|AF|111，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|d取得最小值1.三、解答题12已知抛物线y22x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点的坐标考点抛物线的定义题点抛物线定义与其他知识结合的应用解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上动点P到准线l：x的距离为d，由抛物线的定义，知|PA|PF|PA|d.当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点的纵坐标为2，代入y22x，得x2，P点的坐标为(2,2)13如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2y21相切(1)求抛物线C的方程；(2)若点A，B都在抛线C上，且2，求点A的坐标考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)依题意，可设抛物线C的方程为x22py(p0)，其准线l的方程为y.准线l与圆x2y21相切，圆心(0,0)到准线l的距离d01，解得p2.故抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意得F(0,1)，(x2，y21)，(x1，y1)，2，(x2，y21)2(x1，y1)(2x1，2y1)，即代入得4x8y14，即x2y11，又x4y1，所以4y12y11，解得y1，x1，即点A的坐标为或.四、探究与拓展14设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程答案C解析易知抛物线的焦点为F.由抛物线的定义，得M.设N点坐标为(0,2)因为圆过点N(0,2)，所以NFNM，即1.设t，则式可化为t24t80，解得t2，即p210p160，解得p2或p8.15已知抛物线y22px(p0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解抛物线的准线为l：x.当点A在抛物线内部时，422p，即p时，过M作MAl，垂足为A，则|MF|MA|MA|MA|.当A，M，A共线时，(|MF|MA|)min5，即5，p3，满足p，抛物线方程为y26x.当点A在抛物线外部时，422p，即p时，|MF|MA|AF|，当A，M，F共线时取等号，|AF|5，即5，p1或p13(舍)，抛物线方程为y22x.当点A在抛物线上，即p时，结合明显不成立综上，抛物线方程为y26x或y22x.
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