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课时分层作业 五十七 随机事件的概率一、选择题(每小题5分,共35分)1.将一根长为1 m的铁丝随意截成三段,构成一个三角形,此事件是()A.必然事件 B.不可能事件C.随机事件D.不能确定【解析】选C.三角形的三边长应满足:任意两边的和大于第三边,所以将一根长为1 m的铁丝随意截成三段,是否构成一个三角形是随机的,所以题中所给事件是随机事件.2.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,那么P(A)与的关系是()A.P(A)B.P(A)D.P(A)=【解析】选A.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,越来越接近P(A),因此我们可以用近似代替P(A).3.从整数中任取两数,其中是对立事件的是 ()A.恰有一个是偶数和恰有一个是奇数B.至少有一个是奇数和两个都是奇数C.至少有一个是奇数和两个都是偶数D.至少有一个奇数和至少有一个偶数【解析】选C.由对立事件的定义可知,必有一个发生的互斥事件只有C.4.(2018石家庄模拟)“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为“成功着陆”,舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%,挂住第二条、第三条拦阻索的概率为62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%,现有一架歼-15战机白天着舰演练20次,则其被第四条拦阻索挂住的次数约为()A.5B.3C.1D.4【解析】选B.由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-62%-5%=15%,故其被第四条拦阻索挂住的次数约为200.15=3.5.(2018长沙模拟)有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:11.5,15.5)2;15.5,19.5)4;19.5,23.5)9;23.5,27.5)18;27.5,31.5)11;31.5,35.5)12;35.5,39.5)7;39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计,数据落在27.5,43.5)的概率约是()A.B.C.D.【解析】选C.由条件可知,落在27.5,43.5)的数据有11+12+7+3=33(个),故所求概率约为=.【变式备选】(2018惠州模拟)随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n2 1001 000根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.由题意,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200+2 100=3 300,由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为=.6.甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件.那么()A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【解析】选B.对立事件一定互斥,互斥事件不一定对立.7.如果事件A和B是互斥事件,且AB发生的概率是0.64,事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍,则事件A发生的概率为()A.0.16B.0.36C.0.48D.0.64【解析】选A.设事件A发生的概率为p,则事件B发生的概率为3p,又事件A和B是互斥事件,且AB发生的概率是0.64,则p+3p=0.64,p=0.16.二、填空题(每小题5分,共15分)8.给出下列事件:(1)当x1时,ln x0.(2)当aR,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解.(3)当时,sin sin .(4)等比数列an的公比q1,则数列an是递增数列.其中随机事件的序号是_.【解析】(1)当x1时,必有ln x0,是确定事件.(2)当aR,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解,需要根据a的值确定解的情况,是随机事件.(3)当时,sin 与sin 的大小关系不定,是随机事件.(4)等比数列an的公比q1,首项大于零时,数列an是递增数列.首项小于零时,数列an是递减数列,是随机事件.答案:(2)(3)(4)9.掷一个骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A发生的概率为_.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意P(A)=,P(B)=,所以P()=1-P(B)=1-=,显然A与互斥,从而P(A)=P(A)+P()=+=.答案:【变式备选】设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则A,B之间的关系一定为_.(填“互斥事件”或“对立事件”)【解析】因为P(A)+P(B)=+=P(AB),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.答案:互斥事件10.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,他至少参加2个小组的概率是_,他至多参加2个小组的概率为_.【解析】记恰好参加2个小组为事件A,恰好参加3个小组为事件B,随机选一名成员,恰好参加2个小组的概率P(A)=+=,恰好参加3个小组的概率P(B)=,则他至少参加2个小组的概率为P(A)+P(B)=+=,至多参加2个小组的概率为1-P(B)=1-=.答案:1.(5分)(2018中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数,上述事件中,是对立事件的是()A.B.C.D.【解析】选C.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,有三种情况:一奇一偶,二个奇数,二个偶数.其中至少有一个是奇数包含一奇一偶,二个奇数这两种情况,它与两个都是偶数是对立事件,而中的事件可能同时发生,不是对立事件.2.(5分)从一篮子鸡蛋中任取1个,如果其质量小于30克的概率为0.3,质量在30,40克的概率为0.5,那么质量不小于30克的概率为()A.0.3B.0.5C.0.8D.0.7【解析】选D.由互斥事件概率加法公式知,质量大于40克的概率为1-0.3-0.5=0.2.又因为0.5+0.2=0.7,所以质量不小于30克的概率为0.7.【变式备选】某人练习射击,他脱靶的概率为0.20,命中6环,7环,8环,9环,10环的概率依次为0.10,0.20,0.30,0.15,0.05,则该人射击命中的概率为 ()A.0.50B.0.60C.0.70D.0.80【解析】选D.因为某人练习射击,他脱靶的概率为0.20,命中6环,7环,8环,9环,10环的概率依次为0.10,0.20,0.30,0.15,0.05,所以该人射击命中的概率P=1-0.2=0.8.3.(5分)设M,N为两个随机事件,如果M,N为互斥事件(,表示M,N的对立事件),那么()A.是必然事件B.MN是必然事件C.=D.与一定不为互斥事件【解析】选A.由M,N为两个随机事件,M,N为互斥事件,知:在A中,=,是必然事件,故A正确;在B中,由M和N不一定是对立事件,知MN不一定是必然事件,故B错误;在C中,=,不一定是,故C错误;在D中,由M,N为互斥事件,知与一定为互斥事件,故D错误.4.(12分)对一批衬衣进行抽样检查,结果如表:抽取件数n50100200500600700800次品件数m021227273540次品率(1)求次品出现的频率(次品率).(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A,求P(A).(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售1 000件衬衣,至少需进货多少件?【解析】(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.(2)由(1)知,出现次品的频率在0.05附近摆动,故P(A)=0.05.(3)设购进衬衣x件,则x(1-0.05)1 000,解得x1 053,故至少需进货1 053件.5.(13分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)【解析】 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9(分钟).(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.因为A=A1A2A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
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