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课时分层作业 五十五直线与椭圆的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018保定模拟)不论k为何值,直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(0,7)C.1,7)D.(1,7【解析】选C.直线y=kx+1恒过定点(0,1),由题意知(0,1)在椭圆+=1上或其内部,所以有1,得m1.又椭圆+=1的焦点在x轴上,所以m7.综上,1m0),过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.因为椭圆+y2=1(a0)的焦点在x轴上,所以c=,又过右焦点且垂直于x轴的直线为x=c,将其代入椭圆方程中,得+y2=1,则y=,又|AB|=1,所以2=1,得=,所以该椭圆的离心率e=.【变式备选】设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B两点向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于()A.B.C.D.2【解析】选A.由题意可知,点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标,又c=1,当k0时,不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,y1),(1,y2),代入椭圆方程得解得k=;同理可得当kb0)的左、右焦点,若在直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.由题意可设P,因为PF1的中垂线过点F2,所以|F1F2|=|F2P|,即2c=,整理得y2=3c2+2a2-.因为y20,所以3c2+2a2-0,即3e2-+20,解得e.所以e的取值范围是.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选D.设直线x=与x轴交于M点,则|F1F2|=|F2P|MF2|,即2c-c,整理得e2,又0e1,所以eb0),设P(x,y),点P在以OA为直径的圆上.圆的方程:+y2=,化简为x2-ax+y2=0,消去y可得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.则x=,因为0xa,所以0a,可得eb0)相交于A,B两点,若椭圆的离心率为,焦距为2,则线段AB的长是()A.B.C.D.2【解析】选B.由条件知c=1,e=,所以a=,b=1,椭圆方程为+y2=1,联立直线方程与椭圆方程可得A(0,1),B,所以|AB|=.【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1P48练习T7“经过椭圆+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,求AB的长”.【变式备选】已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为()A.1B.C.D.【解析】选A.由消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由题意,得=,解得m=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为_.【解析】由点差法可求出k1=-,所以k1=-,即k1k2=-.答案:-7.过椭圆+=1(ab2)上顶点和右顶点分别作圆x2+y2=4的两条切线,两切线的斜率之积为-,则椭圆的离心率的取值范围是_.【解析】设过椭圆+=1(ab2)上顶点和右顶点作x2+y2=4的两条切线的斜率为k1,k2,则两条切线方程分别为l1:y=k1x+b,l2:y=k2(x-a);由于圆心(0,0)到两条切线的距离为2,可知=2,=2,又ab2,化简可得=b2-1,=,又因为k1k2=-,所以=,解得16b2=9a2+28,又因为b2=a2-c2,所以a2=,所以e2=,所以0eb0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,则此椭圆离心率的取值范围是_.【解析】设P(x,y),则=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,将y2=b2-x2代入式解得x2=,又x20,a2,所以2c2a23c2,所以e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆E:+=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c. (1)求椭圆E的离心率.(2)如图所示,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.【解析】(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,求得离心率=.(2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.方法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0.易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB=.因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.10.(2018开封模拟)已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,线段MA的垂直平分线交线段MC于点N,设点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程.(2)若经过F(0,2)的直线L交曲线于不同的两点G,H(点G在点F,H之间),且满足=,求直线L的方程.【解析】(1)设点N的坐标为(x,y),NP是线段AM的垂直平分线,|NA|=|NM|,又点N在CM上,圆C:(x+1)2+y2=8,半径r=2,所以|NC|+|NM|=2,|NC|+|NA|=|NC|+|NM|=2|AC|.所以点N的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,设其方程为:+=1(ab0),则2a=2,a=,c=1,b2=a2-c2=1.所以曲线E方程:+y2=1.(2)设G(x1,y1),H(x2,y2),当直线GH斜率存在时,设直线GH的斜率为k.则直线GH的方程为:y=kx+2,所以整理,得x2+4kx+3=0,由0,解得:k2,x1+x2=-,x1x2=.又因为=(x1,y1-2),=(x2,y2-2),由=,得x1=x2,结合得=,即k2=2,解得k=.所以直线L的方程为:y=x+2,当直线GH斜率不存在时,直线L的方程为x=0,=与=矛盾.所以直线L的方程为:y=x+2.【变式备选】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(ab0)过点A(2,1),离心率为.(1)求椭圆的方程.(2)若直线l:y=kx+m(k0)与椭圆相交于B,C两点(异于点A),线段BC被y轴平分,且ABAC,求直线l的方程.【解析】(1)由条件知椭圆+=1(ab0)离心率为e=,所以b2=a2-c2=a2.又点A(2,1)在椭圆+=1(ab0)上,所以+=1,解得所以,所求椭圆的方程为+=1.(2)将y=kx+m(k0)代入椭圆方程,得x2+4(kx+m)2-8=0,整理,得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-8=0.由线段BC被y轴平分,得xB+xC=-=0,因为k0,所以m=0.因为当m=0时,B,C关于原点对称,设B(x,kx),C(-x,-kx),由方程,得x2=,又因为ABAC,A(2,1),所以=(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k2)x2=5-=0,解得k=.由于k=时,直线y=x过点A(2,1),故k=不符合题设.所以,此时直线l的方程为y=-x.1.(5分)(2018西安模拟)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)=0(O为坐标原点),则F1PF2的面积是()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.因为(+)=(+)=0,所以PF1PF2,F1PF2=90.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,所以=mn=1.2.(5分)设A为椭圆+=1(ab0)上一点,点A关于原点的对称点为B,F为椭圆的右焦点,且AFBF,若ABF,则该椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.设椭圆的左焦点为F,所以|AF|+|AF|=2a,根据对称性可知,|BF|=|AF|,所以|AF|+|BF|=2a,O是直角三角形ABF斜边的中点,所以|AB|=|F1F2|=2c,设ABF=,所以|AF|=2csin ,|BF|=2ccos ,所以代入得2csin +2ccos =2a,即=,因为,+,所以sin,所以e=.3.(5分)已知椭圆的方程是x2+2y2-4=0,则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是_.【解析】显然该直线的斜率存在且不为零.设过点M(1,1)的方程为y=kx+(1-k),联立方程组则有(1+2k2)x2+(4k-4k2)x+(2k2-4k-2)=0,所以=1,解得k=-,所以y=-x+,即x+2y-3=0.答案:x+2y-3=04.(12分)(2018太原模拟)已知椭圆E:+=1(ab0)经过点,离心率为,点O为坐标原点.(1)求椭圆E的标准方程.(2)过椭圆E的左焦点F任作一直线l,交椭圆E于P,Q两点,求的取值范围.【解析】(1)因为所以从而c=2,椭圆E的方程为+y2=1.(2)F(-2,0),当直线l的斜率不存在时,可得P,Q,此时=4-=;当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x+2),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=k(x+2)与+y2=1,可得(1+5k2)x2+20k2x+20k2-5=0,所以x1+x2=-,x1x2=,=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2,所以=(1+k2)+2k2+4k2=-,因为k20,5k2+11,所以-0,从而-5b0),因为2c=4,所以c=2,所以a2-b2=c2=4,又+=1,解得a2=6,b2=2,故椭圆M的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,由得(3+k2)x2+2kx-5=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,因为=2,所以x1=-2x2,所以x1+x2=-x2=-,则x2=.又x1x2=-2=-,所以2=,即=5,k2=5,所以k=.故直线l的方程为y=x+1.【方法技巧】求轨迹方程的常见方法有:直接法,设出动点的坐标(x,y),根据题意列出关于x,y的等式即可;定义法,根据题意,动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;参数法,把x,y分别用第三个变量表示,消去参数即可;逆代法,将代入f(x0,y0)=0.
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