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专题07 圆锥曲线一、选择题1. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】已知双曲线的左，右焦点分别为过右焦点的直线在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为的中点，的面积为4，则双曲线E的方程为A B C D【答案】A2. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】椭圆与抛物线相交于点M，N，过点的直线与抛物线E相切于M，N点，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为A B C D【答案】B【解析】设过点的直线方程为，联立方程组，因为直线与抛物线相切，所以，所以切线方程分别为或.此时，或，即切点或.又椭圆的右顶点，因为四边形为平行四边形，所以，即得.又交点在椭圆上，所以， 4. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试】设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.5. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试】已知抛物线：经过点，过焦点的直线与抛物线交于， 两点， ，若，则（ ）A B C D【答案】B，且，解得， ，则，故选B. 8. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】若平面内两定点，间的距离为，动点与、距离之比为，当，不共线时，面积的最大值是（ ）A B C D【答案】A9. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试】已知双曲线的左焦点为抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程为,则实数（ ）A3 B C D【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，则双曲线中，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为，则：，求解关于实数a,b的方程可得：.本题选择C选项. 12. 【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考】设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相交于不同两点，且，连接并延长准线于点，记与的面积为，则（ ）A B C D【答案】C13. 【河北省衡水中学2019届高三上学期四调】已知双曲线方程为，为双曲线的左右焦点，为渐近线上一点且在第一象限，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）A B2 C D3【答案】B【解析】设为坐标原点，为直角三角形又的中点，为正三角形，直线的倾斜角为，离心率故选B 16. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为A B C D【答案】D【解析】依题意椭圆：的离心率为得，椭圆的长轴长与焦距之和为6，解得，则，所以椭圆的标准方程为：，故选D17. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知双曲线的离心率为2，左，右焦点分别为，点在双曲线上,若的周长为，则A B C D【答案】B18. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（ ）A它们的焦距相等 B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同 D它们的离心率相等【答案】D19. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，双曲线的离心率为，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由，可知，由双曲线的定义可得，即，由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为，在中，由勾股定理可得，解之得，故选B. 22. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过点且与该双曲线的右支交于两点，若的周长为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】A23. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】双曲线（，）的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】因为双曲线的一条渐近线为，所以，因为，所以选A. 二、填空题1. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】已知抛物线的焦点是，直线交抛物线于两点，分别从两点向直线 作垂线，垂足是，则四边形的周长为_【答案】.【解析】由题知， ，准线 的方程是 . 设，由 ，消去， 得. 因为直线 经过焦点，所以. 由抛物线上的点的几何特征知，因为直线的倾斜角是 ，所以，所以四边形 的周长是，故答案为 . 三解答题1. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】已知定点F(1，0)，定直线，动点M到点F的距离与到直线l的距离相等(1)求动点M的轨迹方程；(2)设点，过点F作一条斜率大于0的直线交轨迹M于A，B两点，分别连接PA，PB，若直线PA与直线PB不关于x轴对称，求实数t的取值范围【答案】（1）；（2）（2）过点的直线方程可设为，联立方程组.设，所以所以而，2，当时，此时直线关于轴对称，当时，kp外十点能0，此时直线不关于轴对称。所以实数t的取值范围为. 4. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】已知椭圆：的左，右焦点分别为， .过且斜率为的直线与椭圆相交于点， .当时，四边形恰在以为直径，面积为的圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程.【答案】(1) ；(2).四边形为矩形，且 点的坐标为 又，设，则在中， ， ， ， 椭圆的方程为 ，即，解得，直线的方程为5. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试】设点、的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积是.（1）求点的轨迹的方程；（2）直线与曲线相交于两点，若是否存在实数，使得的面积为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在.【解析】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率同理，直线的斜率所以化简得点的轨迹方程为 （2）设联立，化为：，点到直线的距离，解得：，解得，因为当时直线过点，当时直线过点，因此不存在实数，使得的面积为. 所以.所以的取值范围是.7. 【河北省衡水中学2019届高三上学期四调】设常数在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：与轴交于点、与交于点、分别是曲线与线段上的动点（1）用表示点到点距离；（2）设，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）见解析.（2），则，设的中点，则直线方程：，联立，整理得：，解得：，（舍去），的面积；（3）存在，设，则，直线方程为，根据，则，解得：，存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且8. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在，.使得与向量共线，由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，可得x轴平分，设，联立和，得，恒成立，设直线DA、DB的斜率分别为，则由得，联立，得，故存在满足题意， 所以，三点共线.10. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知椭圆： （）的上、下两个焦点分别为， ，过的直线交椭圆于， 两点，且的周长为8，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线： 与椭圆有且仅有一个公共点，点， 是直线上的两点，且， ，求四边形面积的最大值.【答案】（1）.（2）4.（1）因为的周长为8，所以，所以.又因为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）将直线的方程代入到椭圆方程中，得.由直线与椭圆仅有一个公共点，知，化简得.设，所以 ，所以.因为四边形的面积，所以.令（），则 ，所以当时， 取得最大值为16，故，即四边形面积的最大值为4.11. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，且（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程.（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【答案】(1);(2)2.（2）设，由，可知.联立方程组消去化简整理得，由，得，所以，又由题知，即，整理为.将代入上式，得.化简整理得，从而得到. 12. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】已知中心在坐标原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一个顶点为，求面积的最大值及此时直线的方程.【答案】（1）（2）最大值1， 【解析】（1）设所求椭圆方程为，由题意知，设直线与椭圆的两个交点为，弦的中点为，由，两式相减得：，两边同除以，得，即. 因为椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，所以，所以， ，所以，即，由可得，所以所求椭圆的方程为. 为对角线的菱形的一顶点为，由题意可知,即整理可得：由可得， 设到直线的距离为，则， 当的面积取最大值1，此时直线方程为.13. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试】如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.（）求的值；（）当变化时，试问直线是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.【答案】（）1;（）.由得.，由得 . （）设点，由得，. 同理：， ，即： 当变化时，直线过定点.14. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】已知椭圆的长轴长为，且椭圆与圆的公共弦长为（1）求椭圆的方程. （2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于两点，轴于点，点在椭圆上，且，求证：三点共线.【答案】(1) .(2)见解析.所以，解得.所以椭圆的方程为.
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