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第一章 集合与常用逻辑用语单元过关检测（一） (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018长沙模拟)设集合A=x|x2-2x0,B=y|y=x2-2x,xA,则AB=()A.-1,2B.0,2C.(-,2D.0,+)【解析】选A.集合A=x|x2-2x0=0,2,B=y|y=x2-2x,xA=-1,0,则AB=-1,2.【变式备选】(2018昆明模拟)设集合A=x|y=lg(x-1),集合B=y|y=-x2+2,则AB等于()A.(1,2)B.(1,2C.1,2)D.1,2【解题指南】求出A中x的范围确定出A,求出B中y的范围确定出B,找出A与B的交集即可.【解析】选B.由A中y=lg(x-1),得到x-10,解得:x1,即A=(1,+),由B中y=-x2+22,得到B=(-,2,则AB=(1,2.2.命题:“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题是()A.若x2+y2=0,则x=0且y0B.若x2+y20,则x0或y0C.若x=0且y=0,则x2+y20D.若x0或y0,则x2+y20【解析】选D.命题“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题是:“若x0或y0,则x2+y20”.3.(2018锦州模拟)集合M=x|x=3n,nN,集合N=x|x=3n,nN,则集合M与集合N的关系()【解析】选D.因为1M,1N;0N,0M;所以MN且NM.【变式备选】(2018洛阳模拟)已知集合A=-1,1,3,B=1,a2-2a,且B A,则实数a的不同取值个数为()A.1B.2C.3D.4 【解析】选C.因为BA,所以a2-2a=-1或a2-2a=3,解得:a=1或a=-1或a=3,所以实数a的不同取值个数为3.4.(2018重庆模拟)设x0,yR,则“xy”是“x|y|”的 ()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.设x0,yR,当x=1,y=-1时,满足xy但不满足x|y|,故x0,yR,“xy”推不出“x|y|”,而“x|y|”“xy”,故“xy”是“x|y|”的必要不充分条件.5.(2018合肥模拟)已知命题p: x0,x30,那么p是()【解析】选C.因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p: x0,x30,那么p为: x00,0.6.设A=,B=x|xa.若AB,则实数a的取值范围是()A.aB.aC.a1D.a5的一个必要不充分条件是()A.x7B.x6C.x3【解析】选D.本题的题意等价于四个选项中的一个不能得出x5 ,而x5可以得出四个选项中的一个.只有x3符合.8.已知集合A=x|y=lg(x-x2),B=x|x2-cx0,若AB,则实数c的取值范围是()A.(0,1B.1,+)C.(0,1)D.(1,+)【解析】选B.要使y=lg(x-x2)有意义,则x-x20,解得0x1.所以A=x|0x1,又因为x2-cx0,所以0xc,所以B=x|0x0,解得0x1.所以A=x|0x1,取c=1,则B=x|0x1,满足AB,所以排除C,D;取c=2,则B=x|0x2,满足AB,所以排除A.9.(2018威海模拟)给定两个命题p,q,“(pq)为假”是“pq为真”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.“(pq)为假” pq为真,而“pq为真”pq为真,反之不成立.所以“(pq)为假”是“pq为真”的必要不充分条件.10.已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c0”是“x0R,使f(x0)0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的情况解答.【解析】选A.若c0,所以x0R,使f(x0)0成立.若x0R,使f(x0)0,当c=1,b=3时,满足=b2-4c0,所以“c0”是“x0R,使f(x0)3x0”的否定是“xR,x2+13x”;函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为”是“a=1”的必要不充分条件;x2+2xax在x1,2上恒成立(x2+2x)min(ax)max在x1,2上恒成立;“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“ab0”.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.根据特称命题的否定是全称命题,所以正确;f(x)=-=cos2ax,最小正周期是=a=1,所以正确;当a=2时,x2+2x2x在x1,2上恒成立,而(x2+2x)min=3(2x)max=4,所以不正确;因为ab=|a|b|cos,因为 =时ab1,则a21”的否命题为:“若a1,则a21”B.命题“x01,使得-+2x0-10”的否定“x1,使得-x2+2x-1-1”是“1,则a21”的否定为:“若a1,则a21”,其否命题为:“若a1,则a21”;B.命题“x01,使得-+2x0-10”的否定“x1,都有-x2+2x-1-1”不能得到“-1”,而由“-1”,所以“x-1”是“-1”成立的必要不充分条件是正确的;D.因为“若x=y,则sin x=sin y”是正确的,所以“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题是真命题.12.(2018葫芦岛模拟)设命题p:实数x,y满足x2+y2sin x,其中真命题是_;命题p的否定是_.【解析】对任意的xR,2x0,因此命题p是假命题,设f(x)=x-sin x, f(x)= 1-cos x0,因此函数f(x)是R上的增函数,f(0)=0,因此当x0时,有f(x) f(0)=0,即xsin x恒成立,因此命题q是真命题.命题p的否定为: xR,2x0.答案:qxR,2x015.已知集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,定义集合AB=(x,y)|xA,yB,集合AB中属于集合(x,y)|logxyN的元素的个数是_.【解析】由定义可知AB中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4), (2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使logxyN的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4),共4个.答案:416.(2018西宁模拟)在下列结论中:“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件;“pq”为假是“pq”为真的充分不必要条件;“pq”为真是“p”为假的充分不必要条件;“p” 为真是“pq”为假的充分不必要条件.正确的是_.【解析】结论“pq”为真,说明p,q同为真,故能推出“pq”为真,而“pq”为真,说明p,q中至少一个为真,故不能推出“pq”为真,故前者是后者的充分不必要条件,故正确;结论 “pq”为假,说明p,q中至少一个为假,故不能推出“pq”为真,“pq”为真也不能推出“pq”为假,故前者是后者的既不充分也不必要条件,故错误;结论 pq为真,说明p,q都为真,能推出“p”为假,若“p”为假,则p为真,不能推出pq为真,前者是后者的充分不必要条件,故正确;结论“p”为真,则p为假,可推出“pq”为假,而只要满足q为假,p无论真假,都有“pq”为假,故“pq”为假不能推出“p”为真,故正确,综上可得结论正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0.(1)若AB=2,求实数a的值.(2)若AB=A,求实数a的取值范围.【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故集合A=1,2.(1)因为AB=2,所以2B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3,当a=-1时,B=x|x2-4=0=-2,2,满足条件;当a=-3时,B=x|x2-4x+4=0=2,满足条件.综上可知:a的值为-1或-3.(2)对于集合B中的方程x2+2(a+1)x+(a2-5)=0,=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).因为AB=A,所以BA.当0,即a0,即a-3时, B=A=1,2才能满足条件,则由根与系数的关系得 矛盾;综上,a的取值范围是(-,-3.18.(12分)已知集合A=y|y=x2-x+1,x2,B=x|x+m21.若“xA”是“xB”的充分条件,求实数m的取值范围.【解析】y=x2-x+1=+,因为x2,所以y2,A=.由x+m21,得x1-m2,所以B=x|x1-m2.因为“xA”是“xB”的充分条件,所以AB,所以1-m2,解得m或m-,故实数m的取值范围是m或m-.【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是没有注意“xA”是“xB”的充分条件与“xA”成立的充分条件是“xB”的区别;二是由AB得出1-m2,进而得出错误结论.19.(12分)已知命题p:函数f(x)=logax在区间(0,+)上是单调递增函数;命题q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-41.若命题q为真,则a-2=0或可得-22或-20,因为2x+a0,所以2x-2a0,解得x1+log2a,即B=x|x1+log2a,又因为AB,所以1+log2a1,解得:0a1;若a=0,B=R,显然AB;若a0,所以2x+a0,解得xlog2(-a),即B=x|xlog2(-a),又因为AB,所以log2(-a)1,解得:-2a0,B=y|y=x2-x+,0x3. (1)若AB=,求a的取值范围.(2)当a取使不等式x2+1ax恒成立的a的最小值时,求(RA)B.【解题指南】(1)先化简集合A,B,再由题意列关于a的不等式组求解.(2)先由题意确定a的值,再求解.【解析】A=y|ya2+1,B=y|2y4.(1)当AB=时,解得a2或a-.即a(-,-,2.(2)由x2+1ax,得x2-ax+10,依题意=a2-40,即-2a2.所以a的最小值为-2.当a=-2时,A=y|y5.所以RA=y|-2y5,故(RA)B=y|2y4.22.(12分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a0或a=1.【解题指南】充分性与必要性分两步证明充分性:a0或a=1作为条件;必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.当a0,方程有两个不相等的根,且0,方程有一正一负两个根.所以充分性得证.必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.当a=0时,符合条件.当a0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则=4-4a0,所以a1,当a=1时,方程有一负根,x=-1.当a1时,若方程有且只有一负根,则所以a0.所以必要性得证.综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a0或a=1.
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