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课时分层作业 三十六基本不等式一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知a,bR,且ab0,则下列结论恒成立的是()A.a+b2B.+2C.|+|2D.a2+b22ab【解析】选C.因为和同号,所以|+|=|+|2.2.(2018武汉模拟)下列命题中正确的是()A.函数y=x+的最小值为2B.函数y=的最小值为2C.函数y=2-3x-(x0)的最小值为2-4D.函数y=2-3x-(x0)的最大值为2-4【解析】选D.y=x+的定义域为x|x0,当x0时,有最小值2,当x0时,3x+2=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,所以y=2-有最大值2-4,故C项不正确,D项正确.3.已知a0,b0,a+b=2,则y=+的最小值是()A.B.4C.D.5【解析】选C.依题意,得+=(a+b)=,当且仅当即a=,b=时取等号,即+的最小值是.【变式备选】已知x0,y0,且+=1,则x+y的最小值是_.【解析】因为x0,y0,所以x+y=(x+y)=3+3+2(当且仅当y=x时取等号),所以当x=+1,y=2+时,(x+y)min=3+2.答案:3+24.(2018太原模拟)已知x,y为正实数,则+的最小值为()A.B.C.D.3【解析】选D.由于x,y为正实数,则+=+-12-1=3,当且仅当=时,等号成立,则其最小值为3.【变式备选】设x,y,z均为正数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是_.【解析】因为x-2y+3z=0,所以y=,所以=3.当且仅当x=3z时取“=”.答案:35.已知x0,y0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为()A.B.2C.D.2【解析】选D.因为x0,y0,x+2y2,所以4xy-(x+2y)4xy-2,所以44xy-2,即(-2)(+1)0,所以2,所以xy2.6.(2018西安模拟)设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a0,b0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则+的最小值是()A.4B.C.8D.9【解析】选D.因为=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),若A,B,C三点共线,则有,所以(a-1)2-1(-b-1)=0,所以2a+b=1,又a0,b0,所以+=(2a+b)=5+5+2=9,当且仅当即a=b=时等号成立.7.(2017山东高考)若ab0,且ab=1,则下列不等式成立的是 ()A.a+log2B.log2a+C.a+log2D.log2a+b0,且ab=1,所以a1,0b1,所以log22=1,由函数性质可知2xx,所以a+a+b,上式两边同时取以2为底的对数可得a+log2(a+b).方法二:因为ab0,且ab=1,所以a1b0,令a=2,b=,则a+=2+=4,=.log2(a+b)=log2(2+)=log21.所以a+log2(a+b).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017天津高考)若a,bR,ab0,则的最小值为_.【解析】=4ab+4 ,当且仅当a2=2b2且4ab=时取等号.答案:4 9.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品_件.【解析】设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+2=20.当且仅当=(x0),即x=80时“=”成立.答案:8010.(2018沈阳模拟)设等差数列an的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是_.【解析】an=a1+(n-1)d=n,Sn=,所以=,当且仅当n=4时取等号.所以的最小值是.答案:1.(5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则ABC面积的最大值为()A.8B.9C.16D.21【解析】选B.由三角形的面积公式:S=absin C=ab=9,当且仅当a=b=6时等号成立.则ABC面积的最大值为9.2.(5分)为保障春节期间的食品安全,某市质量监督局对超市进行食品检查,如图所示是某食品中微量元素含量数据的茎叶图,已知该组数据的平均数为11.5,则+的最小值为()A.9B.C.8D.4【解析】选B.因为该组数据的平均数为11.5,所以=11.5,即a+b=2,所以+=+=,当且仅当=,即a=2b=时等号成立,所以+的最小值为.【变式备选】已知m1,x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为3,则+()A.有最小值B.有最大值C.有最小值D.有最大值【解析】选A.直线mx-y+5-m=0过x-y+4=0上的定点A(1,5).画出表示的可行域,如图,由图知z=ax+by过A(1,5)时,最大值为a+5b=3,所以+=(a+5b)=(11+).3.(5分)(2018合肥模拟)已知a,b为正实数,直线x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,则的取值范围是_.【解析】因为x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,所以d=,所以a+b+1=2,即a+b=1,所以=(b+1)+-42-4=0.又因为a,b为正实数,所以的取值范围是(0,+).答案:(0,+)4.(12分)已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1). (1)求xy的最小值.(2)求x+y的最小值.【解析】由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),得(1)因为x0,y0,所以3xy=x+y+12+1.所以3xy-2-10,即3()2-2-10.所以(3+1)(-1)0.所以1.所以xy1.当且仅当x=y=1时,等号成立.所以xy的最小值为1.(2)因为x0,y0,所以x+y+1=3xy3.所以3(x+y)2-4(x+y)-40.所以3(x+y)+2(x+y)-20.所以x+y2.当且仅当x=y=1时取等号.所以x+y的最小值为2.5.(13分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程.(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.【解析】(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0.由实际意义和题设条件知x0,k0,故x=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)若炮弹可以击中目标,则存在k0,a0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立,故关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根,所以有即a6.所以当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.
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