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组合增分练8解答题型综合练A1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.(1)求sinCsinA的值;(2)若cos B=14,b=2,求ABC的面积S.2.随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.年龄(单位:岁)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75频数510151055赞成人数51012721(1)若以“年龄”45岁为分界点,由以上统计数据完成下面22列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计(2)若从年龄在25,35)和55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求3人中至少有1人年龄在55,65)的概率.参考数据如下:附临界值表:P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的观测值:k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d).3.如图,在梯形ABCD中,BAD=ADC=90,CD=2,AD=AB=1,四边形BDEF为正方形,且平面BDEF平面ABCD.(1)求证:DFCE.(2)若AC与BD相交于点O,则在棱AE上是否存在点G,使得平面OBG平面EFC?并说明理由.4.已知抛物线y2=8x与垂直x轴的直线l相交于A,B两点,圆C:x2+y2=1分别与x轴正、负半轴相交于点P,N,且直线AP与BN交于点M.(1)求证:点M恒在抛物线上;(2)求AMN面积的最小值.5.设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g1x的大小关系;(3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)0成立.6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3sin-cos,y=3-23sincos-2cos2(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin-4=22m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.7.已知函数f(x)=|x+2|-m,mR,且f(x)0的解集为-3,-1.(1)求m的值;(2)设a,b,c为正数,且a+b+c=m,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.组合增分练8答案1.解 (1)由正弦定理,设asinA=bsinB=csinC=k,则2c-ab=2ksinC-ksinAksinB=2sinC-sinAsinB,所以cosA-2cosCcosB=2sinC-sinAsinB,即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B.化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=,所以sin C=2sin A.因此sinCsinA=2.(2)由sinCsinA=2得c=2a.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及cos B=14,b=2,得4=a2+4a2-4a214,解得a=1.从而c=2.又因为cos B=14,且0B6.635,所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.(2)按照分层抽样方法可知55,65)抽取6510+5=2(人),25,35)抽取61010+5=4(人).在上述抽取的6人中,年龄在55,65)有2人,年龄在25,35)有4人.年龄在55,65)记为(A,B);年龄在25,35)记为(a,b,c,d),则从6人中任取3名的所有情况为:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d)共20种情况,其中至少有一人年龄在55,65)岁的情况有:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),共16种情况.记至少有一人年龄在55,65)岁为事件A,则P(A)=1620=45.至少有一人年龄在55,65)岁之间的概率为45.3.(1)证明 连接EB,在梯形ABCD中,BAD=ADC=90,CD=2,AD=AB=1,BD=2,BC=2,BD2+BC2=CD2,BCBD.平面BDEF平面ABCD,平面BDEF平面ABCD=BD,BC平面BDEF,BCDF.DFEB,EBBC=B,DF平面BCE.CE平面BCE,DFCE.(2)解 棱AE上存在点G,AGGE=12,使得平面OBG平面EFC.ABDC,AB=1,DC=2,AOOC=12.AGGE=12,OGCE.EFOB,OB平面EFC,OG平面EFC,OB平面EFC,OG平面EFC.OBOG=O,平面OBG平面EFC.4.(1)证明 设A(x1,y1),B(x1,-y1)(x10),由题意,P(1,0),N(-1,0),直线AP的方程为(x1-1)y=y1(x-1),直线BN的方程为(x1+1)y=-y1(x+1),联立,解得x=1x1,y=-y1x1.y12=8x1,y2=8x,即点M恒在抛物线上.(2)解 由(1)可得AMN面积S=12|NP|(|y1|+|yM|)=|y1|+y1x1=|y1|+8y142,当且仅当y1=22,即A(1,22)时取等号,AMN面积的最小值为42.5.解 (1)由题设知f(x)=ln x,g(x)=ln x+1x,g(x)=x-1x2,令g(x)=0,得x=1.当x(0,1)时,g(x)0,故(1,+)是g(x)的单调增区间.因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点.所以最小值为g(1)=1.(2)g1x=-ln x+x.设h(x)=g(x)-g1x=2ln x-x+1x,则h(x)=-(x-1)2x2.当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g1x,当x(0,1)(1,+)时,h(x)0,h(1)=0.因此,h(x)在(0,+)内单调递减,当0xh(1)=0,即g(x)g1x,当x1时,h(x)h(1)=0,即g(x)g1x.(3)由(1)知,g(x)的最小值为1,所以g(a)-g(x)0成立g(a)-11a,即ln a1,从而得0ae.6.解 (1)曲线C1的参数方程为x=3sin-cos,y=3-23sincos-2cos2,消去参数,可得y=x2(-2x2).曲线C2的极坐标方程为sin-4=22m,直角坐标方程为x-y+m=0.(2)联立直线与抛物线可得x2-x-m=0,曲线C1与曲线C2有公共点,m=x2-x=x-122-14,-2x2,-14m6.7.解 (1)由题意,|x+2|mm0,-m-2xm-2,由f(x)0的解集为-3,-1,得-m-2=-3,m-2=-1,解得m=1.(2)由(1)可得a+b+c=1,由柯西不等式可得(3a+1+3b+1+3c+1)(12+12+12)(3a+1+3b+1+3c+1)2,则3a+1+3b+1+3c+132,当且仅当3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13时等号成立,故3a+1+3b+1+3c+1的最大值为32.
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