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淮南市2018届高三第一次模拟考试数学理科试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，其中是虚数单位，则( )A. B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】 ，则 选B2. 已知集合，则为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 选D3. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据几何概型的概率公式可得，A图中奖的概率P=，B图中奖的概率P=，C图中奖的概率P=，D图中奖的概率P=，则概率最大的为A，故选A.考点：几何概型.4. 已知函数 ，下列说法错误的是( )A. 函数最小正周期是 B. 函数是偶函数C. 函数在上是增函数 D. 函数图像关于对称【答案】C【解析】 ，故A正确；即函数是偶函数，B正确；，当时，故D正确；故选C.5. 若实数满足，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：其中 的几何意义，即动点P（x，y）与点 连线斜率的取值范围由图象可知过点与点直线的斜率 2所以 ，故的取值范围是.故选D【点睛】本题考查线性规划的基本应用及数形结合的数学思想，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键6. 求曲线与所围成的图形的面积，正确的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示 故选A.7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】C【解析】第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，满足退出循环的条件，故输出的的值为故选点睛:本题主要考查了程序框图。由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可得到答案。8. 函数的图象不可能是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】当，为图，当， ，为图D，当时，为图B ，选C.【点睛】函数图像问题首先关注定义域，其次根据函数的奇偶性排除部分选择支，进而用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等.本题只需对的不同情况进行探讨，最终得出答案.9. 设，且，则下列结论中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因为 所以 故选A10. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，得 则 过的直线方程为 即 联立 ，得 设 则 故选B11. 已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图 三点共线， 是的重心， 解得， 结合图象可知 令 故 故 当且仅当等号成立故选D12. 已知函数，若函数恰有四个零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 令，解得或，当或时，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极大值 当时，取得极小值 作出的大致函数图象如图所示：令，则当或时，关于的方程只有1解；当时，关于的方程有2解；当时，关于的方程有3解 恰有四个零点，关于的方程 在上有1解，在有1解，显然不是方程的解，关于的方程在和上各有1解， 解得 故选D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数为_.(用数字作答)【答案】【解析】试题分析：由题意，展开式通项为，当时，；当时，故的展开式中项为，系数为【考点定位】二项式定理视频14. 九章算术“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为_.【答案】【解析】试题分析：由题意可知，解得，所以.考点：等差数列通项公式15. 已知函数，则使得成立的的取值范围是_.【答案】【解析】函数满足 故函数为偶函数，当时，为增函数，为减函数，故函数在时为增函数，在 时为减函数，则 解得： 故答案为【点睛】本题考查函数知识的综合应用，解题时灵活应用是函数单调性，函数的奇偶性，绝对值不等式的解法等是解题的关键16. 已知正项数列的前项和为，当时，且，设，则的最小值是_.【答案】9【解析】当 时， ，即 ，展开化为： 正项数列的前项和为 数列是等比数列，首项为1，公比为4 则 则 当且仅当即时等号成立.故答案为9三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角的对边分别是，已知，.(1)求的值；(2)若角为锐角，求的值及的面积.【答案】(1)；(2)，.【解析】试题分析：（1）根据题意和正弦定理求出a的值；（2）由二倍角的余弦公式变形求出，由的范围和平方关系求出，由余弦定理列出方程求出的值，代入三角形的面积公式求出的面积试题解析：(1)因为，由正弦定理，得.(2)因为，且，所以，.由余弦定理，得，解得或(舍)，所以.18. 等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）已知数列是等比数列，因此把已知条件用首项和公比表示并解出，然后可写出通项公式；（2）计算出是等差数列的前项和，因此变成两项的和，即数列可用裂项相消法求和得出结论试题解析：（1）设数列an的公比为，由得所以有条件可知，故由得，所以故数列an的通项式为（2）=.故所以数列的前n项和为考点：等比数列的通项公式，等差数列的前项和，裂项相消法求和19. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，后得到如图所示的频率分布直方图，问：(1)在40名读书者中年龄分布在的人数；(2)估计40名读书者年龄的平均数和中位数；(3)若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列和数学期望.【答案】(1)30；(2)平均数为54，中位数为55；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在40，70）的频率为0.75，由此能求出40名读书者中年龄分布在的人数（2）利用频率分布直方图能求出40名读书者年龄的平均数和中位数（3）年龄在的读书者有2人，年龄在的读书者有4人，设年龄在的读书者人数为X，由此能求出恰有1名读书者年龄在30，40）的概率试题解析：(1)由频率分布直方图知年龄在的频率为，所以40名读书者中年龄分布在的人数为.(2)40名读书者年龄的平均数为，设中位数为，则，解得.即40名读书者年龄的中位数为55.(3)年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值有0，1，2.，的分布列如下：012数学期望.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法.解题时要认真审题，注意排列组合、古典概型的合理运用20. 已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足(为坐标原点)，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式：计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件求解问题中结论试题解析：（）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，圆心到直线的距离（*）椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，,， 代入（*）式得，故所求椭圆方程为（）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：，设,，则，由，当,直线为轴，点在椭圆上适合题意；当，得将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，所以，综上可得考点：（1）椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题21. 已知函数.(1)若，讨论函数的单调性；(2)曲线与直线交于，两点，其中，若直线斜率为，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于，令，则，问题转化为只需证，根据函数的单调性证明即可试题解析： (1)，当时，恒有，在区间上是增函数，当时，令，即，解得；令，即，解得，在区间上是增函数，在区间上是减函数.综上，当时，在区间上是增函数；当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数.(2)证明：，要证明，即证，等价于，令(由，知)，则只需证，由知，故等价于(*)令，则，所以在上是增函数，当时，所以；令，则，所以在内是增函数，当时，所以，综上，.22. 已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程；(2)求与交点的极坐标.【答案】(1)；(2)，.【解析】试题分析：（1）本题主要考察参数方程和极坐标方程知识点，要熟记一些常考和常见方程的参数方程以及极坐标方程的转化，问题的关键在于消去参数。根据圆的的参数方程和消去参数，即可得到的普通方程为；再根据极坐标方程代入圆的普通方程，化简可得的极坐标方程。（2）本题考察的是两曲线的交点和直角坐标系下的点与极坐标系下的点的互化，首先在直角坐标系下，求出两曲线的交点，再结合极坐标方程的公式就可以得到在极坐标系的点的表示方式。联立和的普通方程，即可得到和的交点为或，和再根据极坐标得到交点的极坐标方程为。试题解析：（1）将，消去参数，化简得到普通方程，即：，将代入得所以极坐标方程为（2）的普通方程为，解得或所以与交点的极坐标为考点：（1）函数的参数方程；（2）函数的极坐标方程。23. 设函数.(1)画出函数的图象；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）先讨论的范围，将函数写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数与函数的图象可知先寻找满足的零界情况，从而求出的范围试题解析： (1)由于，则的图象如图所示：(2)由函数与函数的图象可知，当且仅当或时，函数与函数的图象有交点，故不等式的解集非空时，的取值范围是.
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