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第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、无序性.(2)集合与元素的关系:属于,记为;不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素xAxBAB或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AAB,x0B,x0AAB或B A相等集合A,B的元素完全AB,BA空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集x,x,A3.集合的基本运算 表示运算 文字语言符号语言图形语言记法交集属于A属于B的元素组成的集合x|xA,xB并集属于A属于B的元素组成的集合x|xA,xB补集全集U中属于A的元素组成的集合x|xU,x A4.集合的运算性质(1)并集的性质:A=A;AA=A;AB=;AB=BA.(2)交集的性质:A=;AA=A;AB=BA;AB=AAB.(3)补集的性质:A(UA)=U;A(UA)=;U(UA)=;U(AB)=(UA)(UB);U(AB)=.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如x|x=2(n-1),nZ为偶数集,x|x=4n1,nZ为奇数集等.(2)一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;任何一个集合是它本身的子集;对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC(真子集也满足);若AB,则有A=和A两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)(常用在实际问题中).题组一常识题1.教材改编 已知集合A=0,1,x2-5x,若-4A,则实数x的值为.2.教材改编 已知集合A=a,b,若AB=a,b,c,则满足条件的集合B有个.3.教材改编 设全集U=R,集合A=x|0x2,B=y|1y3,则(UA)B=.4.教材改编 已知集合A=-1,1,B=a,a2+2.若AB=1,则实数a的值为.题组二常错题索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A=1,3,m,B=1,m,若BA,则m=.6.已知xN,yN,M=(x,y)|x+y2,N=(x,y)|x-y0,则MN中元素的个数是.7.已知集合M=x|x-a=0,N=x|ax-1=0,若MN=N,则实数a的值是.8.设集合A=x|x-a|1,xR,B=x|1x5,xR,若AB,则a的取值范围为.探究点一集合的含义与表示例1 (1)2018全国卷 已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A=-4,2a-1,a2,B=9,a-5,1-a,且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.总结反思 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A=x|x=3k-1,kZ,则下列表示正确的是()A.-1AB.-11AC.3k2-1AD.-34A(2)2018上海黄浦区二模 已知集合A=1,2,3,B=1,m,若3-mA,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)2018武汉4月调研 已知集合M=x|x2=1,N=x|ax=1,若NM,则实数a的取值集合为()A.1B.-1,1C.1,0D.1,-1,0(2)设集合M=x|x=5-4a+a2,aR,N=y|y=4b2+4b+2,bR,则下列关系中正确的是()A.M=NB.MNC.NMD.MN总结反思 (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题 (1)设x,yR,集合A=(x,y)|y=x,B=(x,y)yx=1,则集合A,B间的关系为()A.ABB.BAC.A=BD.AB=(2)已知集合M=x|x1,N=x|ax3a+1,若MN=,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)2018长沙周南中学月考 已知集合A=x|x1,B=x|ex1,则()A.AB=x|x1B.AB=x|xeC.A(RB)=RD.(RA)B=x|0x1(2)2018山西大学附中5月调研 已知集合A=x|2x1,B=x|ln x1,则AB=()A.x|xe总结反思 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A=xZ|x2-4x-52m,若AB中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.3,6)B.1,2)C.2,4)D.(2,4(2)设全集U=R,集合A=x|x1,集合B=x|xp,若(UA)B=,则p应该满足的条件是()A.p1B.p1C.p2或x0,B=y|1y3,所以(UA)B=(-,0)1,+).4.1解析 由题意可得1B,又a2+22,故a=1,此时B=1,3,符合题意.5.0或3解析 因为BA,所以m=3或m=m,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m1,所以m=0或3.6.4解析 依题意得M=(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0),所以MN=(1,1),(0,0),(1,0),(2,0),所以MN中有4个元素.7.0或1或-1解析 易得M=a.MN=N,NM,N=或N=M,a=0或a=1.8.2a4解析 由|x-a|1得-1x-a1,a-1xa+1,由AB得a-11,a+11,a+15,2a4.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9A,所以依据2a-1=9或a2=9分类求解,但要注意集合元素的互异性.(1)A(2)-3解析 (1)当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A=(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个元素.(2)集合A,B中有唯一的公共元素9,9A.若2a-1=9,即a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,-4,则集合A,B中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去.若a2=9,则a=3,当a=3时,A=-4,9,5,B=-2,-2,9,B中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;当a=-3时,A=-4,-7,9,B=9,-8,4,符合题意.综上所述,a=-3.变式题(1)C(2)2解析 (1)当k=0时,x=-1,所以-1A,所以A错误;令-11=3k-1,得k=-103Z,所以-11A,所以B错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34A,所以D错误;因为kZ,所以k2Z,则3k2-1A,所以C正确.(2)由题知,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互异性,故m1;若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.例2思路点拨 (1)先求出集合M=x|x2=1=-1,1,当a=0和a0时,分析集合N,再根据集合M,N的关系求a;(2)把集合对应的函数化简,求出集合M,N,即可得M,N的关系.(1)D(2)A解析 (1)集合M=x|x2=1=-1,1,N=x|ax=1,NM,当a=0时,N=,成立;当a0时,N=1a,则1a=-1或1a=1,解得a=-1或a=1.综上,实数a的取值集合为1,-1,0.故选D.(2)集合M=x|x=5-4a+a2,aR=x|x=(a-2)2+1,aR=x|x1,N=y|y=4b2+4b+2,bR=y|y=(2b+1)2+1,bR=y|y1,M=N.变式题(1)B(2)a1解析 (1)由题意得,集合A=(x,y)|y=x表示直线y=x上的所有点,集合B=(x,y)yx=1表示直线y=x上除点(0,0)外的所有点,所以BA.故选B.(2)当N=时,由a3a+1得a-12,满足MN=;当N时,由MN=得11.所以a的取值范围是a1.例3思路点拨 (1)先求出RA,RB,再判断各选项是否正确;(2)先求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,B,再求出两集合的并集即可.(1)C(2)A解析 (1)集合A=x|x1,B=x|ex1=x|x0,RB=x|x0,RA=x|x1.易知AB=x|x0,故A错误;AB=x|x1,故B错误;A(RB)=R,故C正确;(RA)B=,故D错误.故选C.(2)集合A=x|2x1=x|x0,B=x|ln x1=x|0xe,AB=x|xe,故选A.例4思路点拨 (1)分别求出集合A和B,根据AB中有三个元素,求出实数m的取值范围;(2)根据补集、交集和空集的定义即可得出p满足的条件.(1)C(2)B解析 (1)集合A=xZ|x2-4x-52m=x|xm2,AB中有三个元素,1m22,解得2m1,集合B=x|xp,UA=x|x1,又(UA)B=,p1.例5思路点拨 (1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a,b)的个数,从而得出M中的元素个数.(1)D(2)41解析 (1)根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为0,1,2,1,2,3,2,3,4,3,4,5,共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为0,1,2,3,0,1,3,4,0,1,4,5,1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5,共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为0,1,2,3,4,1,2,3,4,5,0,1,2,4,5,0,1,3,4,5,共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为0,1,2,3,4,5,共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).(2)由a*b=36,a,bN*知,若a和b一奇一偶,则ab=36,满足此条件的有136=312=49,故点(a,b)有6个;若a和b同奇同偶,则a+b=36,满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=18+18,共18组,故点(a,b)有35个.所以M中的元素个数为41.【备选理由】 例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况.例1配合例2使用 2018陕西黄陵中学三模 已知集合M=x|y=(-x2+2x+3)12,xN,Q=z|z=x+y,xM,yM,则下列运算正确的是()A.MQ=B.MQ=ZC.MQ=QD.MQ=Q解析 C由-x2+2x+30,得-1x0,得x-3,所以AB=x|x3或x-1x|x-3=x|x-3,故选C.例4配合例4使用 已知集合A=x|y=4-x2,B=x|axa+1,若AB=A,则实数a的取值范围为()A.(-,-32,+)B.-1,2C.-2,1 D.2,+)解析 C要使函数y=4-x2有意义,则4-x20,据此可得A=x|-2x2.若AB=A,则集合B是集合A的子集,据此有a-2,a+12,求解不等式组可得,实数a的取值范围为-2,1.
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