资源描述
函数与方程思想、数形结合思想数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.1.若0x1x2x1解析设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，g(x)0，函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0x1x2g(x2)，x2x1.2.(2018宿州调研)已知定义在R上的偶函数满足f(x)x34x(x0)，若f(12m)f(m)，则实数m的取值范围是_.答案1，)解析由题意可知，定义在R上的偶函数f(x)x34x(x0)，因为yx3，y4x在x0时都是单调递增的函数，故函数f(x)x34x在x0时为增函数，又函数f(x)为偶函数，故图象关于y轴对称，所以f(12m)f(m)，只需|12m|m|，即m1，).3.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g(x)，满足g(x)g(x)1的解集为_.答案(，0)解析函数g(x)的图象关于直线x2对称，g(0)g(4)1.设f(x)，则f(x).又g(x)g(x)0，f(x)f(0)，x0.4.若x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_.答案6，2解析当2x0时，不等式转化为a.令f(x)(2x0)，则f(x)，故f(x)在2，1上单调递减，在(1,0)上单调递增，此时有af(x)minf(1)2.当x0时，不等式恒成立.当0x1时，a，则f(x)在(0,1上单调递增，此时有af(x)maxf(1)6.综上，实数a的取值范围是6，2.二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.5.已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070，则其公差d_.答案解析设等差数列的首项为a1，公差为d，则即解得d.6.在等差数列an中，若a10, 设Snf(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n12对称，故Sn取最小值时n的值为12.7.(2018江苏海安高级中学月考)已知等比数列an的公比q1，其前n项和为Sn，若S42S21，则S6的最小值为_.答案23解析S42S21，21a1(1q)(q21)1，q1，S6(1qq2)(1qq2)(1q)q21323，当且仅当q21(q1)时取等号，S6的最小值为23.8.设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S50，S63，则nSn的最小值为_.答案9解析由已知得Sn，故nSn.令f(x)，则f(x)x25x，令f(x)0，得x0或x，f(x)在上单调递减，在上单调递增.又n是正整数，当n3时，nSn9，当n4时，nSn8，故当n3时，nSn取得最小值9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知AB4，DE2，则C的焦点到准线的距离为_.答案4解析不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0,2)，D，点A(x0,2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0,2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为p4.10.如图，已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若PAQ60，且3，则双曲线C的离心率为_.答案解析因为PAQ60，APAQ，所以APAQPQ，设AQ2R，又3，则OPPQR.双曲线C的渐近线方程是yx，A(a,0)，所以点A到直线yx的距离d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)，在OQA中，由余弦定理得，OA2OQ2QA22OQQAcos60(3R)2(2R)223R2R7R2a2.由得所以双曲线C的离心率为e.11.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若6，则k的值为_.答案或解析依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1 .由6知，x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2 .由点D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.12.已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F，则k_.答案或解析点F的坐标为(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，当k0时，l与C只有一个交点，不合题意，因此k0.将yk(x1)代入y24x，消去y，得k2x22(k22)xk20，依题意知，x1，x2是的不相等的两个实根，则由以AB为直径的圆过F，得AFBF，即kAFkBF1，所以1，即x1x2y1y2(x1x2)10，所以x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10，所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20，把x1,2代入得2k210，解得k，经检验k适合式.综上所述，k.一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.1.函数f(x)2x的零点个数为_.答案1解析在同一平面直角坐标系下，作出函数y12x和y2的图象，如图所示.函数f(x)2x的零点等价于2x的根，等价于函数y12x和y2图象的交点横坐标.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.2.若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为_.答案解析x0是方程的一个实数解；当x0时，方程kx2可化为(x4)|x|，x4，设f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y，则两函数图象有三个非零交点.f(x)(x4)|x|的大致图象如图所示，由图可得0.所以k的取值范围为.3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1,0时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)|cosx|在上的所有实数解之和为_.答案7解析因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数f(x)的周期为2.又当x1,0时，f(x)x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1f(x)与y2|cos x|的图象如图所示.由图象知关于x的方程f(x)|cos x|在上的实数解有7个.不妨设x1x2x3x4x5x6x7，则由图得x1x24，x3x52，x41，x6x70，所以方程f(x)|cos x|在上的所有实数解的和为42107.4.(2018无锡检测)设函数f(x)若方程f(x)mx0恰好有3个根，则实数m的取值范围为_.答案(0,1)解析当x0时，xlog2(x1)mx0，所以x0是方程的一个根；当x1时，1mx，所以m，当1x1且x0时，令xlog2(x1)mx，则mlog2(x1)，画出关于g(x)的函数图象，如图.所以满足ym和yg(x)的图象有两个交点的m的取值范围为0m1，因为x0是方程f(x)mx0的一个根，所以方程f(x)mx有3个根的m的取值范围为0m0，所以m1，故m的取值范围是1，).7.若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则实数a的取值范围是_.答案解析作出y1|x2a|和y2xa1的简图，如图所示.依题意得2a22a，故a.8.已知函数f(x)若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围为_.答案0，)解析根据题意知f(x)是一个分段函数，当x1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为xa；当x1时，如图(1)所示，符合题意；当0a1时，如图(2)所示，符合题意；当a0).若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为_.答案6解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且AB2m，因为APB90，连结OP，可知OPABm.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为OC5，所以(OP)maxOCr6，即m的最大值为6.10.设双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为_.答案解析如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连结OQ，则OQPF2.又PF1PF2，O为F1F2的中点，所以PF12OQ2a.又PF2PF12a，所以PF24a.在RtF1PF2中，由PFPFF1F，得4a216a220a24c2，即e.11.已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_.答案解析因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连结AQ，由抛物线的定义可知，APF的周长为PFPAAFPQPAAFAQAFABAF，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即ABAF.因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0.故使APF的周长最小的点P的坐标为.12.已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_.答案2解析连结PC，由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，RtPAC的面积SPACPAACPA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时PC3，从而PA2，所以(S四边形PACB)min2PAAC2.1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是减函数，则f，f，f的大小关系为_.答案fff解析因为f(x2)f(x)，所以T4，又f(x)为奇函数，所以f(x1)f(x1)f(1x)，即f(x)图象关于x1对称.作图，由图知ff0，b0)的右焦点F作直线yx的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若2，则该双曲线的离心率为_.答案解析设F(c,0)，则直线AB的方程为y(xc)，代入双曲线渐近线方程yx，得A.由2，可得B，把B点坐标代入1，得1，c25a2，离心率e.5.记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3,13x的最大值为_.答案8解析在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图.由图可知，在实数集R上，minx21，x3,13x为yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y13x在点C下方的部分的组合体.显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3,13x取得最大值.解方程组得点C(5,8).所以f(x)max8.6.已知函数f(x)|lg(x1)|，若1ab且f(a)f(b)，则a2b的取值范围为_.答案(6，)解析由图象可知b2,1a2，lg(a1)lg(b1)，则a，则a2b2b2(b1)3，由对勾函数的性质知，当b时，f(b)2(b1)3单调递增，b2，a2b2b6.7.已知函数f(x)若不等式f(x)mx恒成立，则实数m的取值范围为_.答案32，0解析函数f(x)及ymx的图象如图所示，由图象可知，当m0时，不等式f(x)mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)x23x2(x1)相切于点A(x0，x3x02)，因为f(x0)2x03，所以该切线方程为y(x3x02)(2x03)(xx0)，因为该切线过原点，所以(x3x02)x0(2x03)，解得x0，即该切线的斜率k23.由图象得23m0.8.已知函数f(x)xsinx，若存在x2,1，使得f(x2x)f(xk)0在R上恒成立，即函数f(x)在R上单调递增.若x2，1，使得f(x2x)f(xk)0成立，即f(x2x)f(xk)，所以f(x2x)f(kx)，即x2xx22x，令g(x)x22x，x2,1.则kg(x)ming(1)1，故实数k的取值范围是(1，).9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_.答案2解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积Va2h，故a2h32，即a2.则其侧棱长为l.令f(h)h2，则f(h)2h，令f(h)0，解得h2.当h(0,2)时，f(h)0，f(h)单调递增，所以当h2时，f(h)取得最小值f(2)2212，故lmin2.10.若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.答案 (0,2)解析由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，从而可得函数y1|2x2|的图象与函数y2b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0b0)，若两条曲线没有公共点，则r的取值范围是_.答案(0,1)解析方法一联立C1和C2的方程，消去x，得到关于y的方程y22y10r20，方程可变形为r2y22y10，把r2y22y10看作关于y的函数.由椭圆C1可知，2y2，因此，求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合，等价于在定义域为y2,2的情况下，求函数r2f(y)y22y10的值域.由f(2)1，f(2)9，f，可得f(y)的值域为，即r，它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合，因此，两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0,1).方法二联立C1和C2的方程消去x，得到关于y的方程y22y10r20.两条曲线没有公共点，等价于方程y22y10r20要么没有实数根，要么有两个根y1，y22,2.若没有实数根，则44(10r2)或r0，解得0r0，故(x)在上单调递增，所以(x)0.因此g(x)0，故g(x)在上单调递增，则g(x)g2，所以a2，解得a2，所以a的取值集合为2.
展开阅读全文