(江苏专用)2019高考数学二轮复习 第四篇 一 函数与方程思想、数形结合思想试题 理.docx

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函数与方程思想、数形结合思想数学教学的最终目标,是要让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领和导向作用.一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解.1.若0x1x2x1解析设g(x)(0x1),则g(x).又0x1,g(x)0,函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0x1x2g(x2),x2x1.2.(2018宿州调研)已知定义在R上的偶函数满足f(x)x34x(x0),若f(12m)f(m),则实数m的取值范围是_.答案1,)解析由题意可知,定义在R上的偶函数f(x)x34x(x0),因为yx3,y4x在x0时都是单调递增的函数,故函数f(x)x34x在x0时为增函数,又函数f(x)为偶函数,故图象关于y轴对称,所以f(12m)f(m),只需|12m|m|,即m1,).3.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g(x),满足g(x)g(x)1的解集为_.答案(,0)解析函数g(x)的图象关于直线x2对称,g(0)g(4)1.设f(x),则f(x).又g(x)g(x)0,f(x)f(0),x0.4.若x2,1时,不等式ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是_.答案6,2解析当2x0时,不等式转化为a.令f(x)(2x0),则f(x),故f(x)在2,1上单调递减,在(1,0)上单调递增,此时有af(x)minf(1)2.当x0时,不等式恒成立.当0x1时,a,则f(x)在(0,1上单调递增,此时有af(x)maxf(1)6.综上,实数a的取值范围是6,2.二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,可用函数的观点去处理数列问题,常涉及最值问题或参数范围问题,一般利用二次函数;等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.5.已知an是等差数列,a1010,其前10项和S1070,则其公差d_.答案解析设等差数列的首项为a1,公差为d,则即解得d.6.在等差数列an中,若a10, 设Snf(n),则f(n)为二次函数,又由f(7)f(17)知,f(n)的图象开口向上,关于直线n12对称,故Sn取最小值时n的值为12.7.(2018江苏海安高级中学月考)已知等比数列an的公比q1,其前n项和为Sn,若S42S21,则S6的最小值为_.答案23解析S42S21,21a1(1q)(q21)1,q1,S6(1qq2)(1qq2)(1q)q21323,当且仅当q21(q1)时取等号,S6的最小值为23.8.设等差数列an的前n项和为Sn,若S42,S50,S63,则nSn的最小值为_.答案9解析由已知得Sn,故nSn.令f(x),则f(x)x25x,令f(x)0,得x0或x,f(x)在上单调递减,在上单调递增.又n是正整数,当n3时,nSn9,当n4时,nSn8,故当n3时,nSn取得最小值9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程(组)的思想;直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以通过转化为一元二次方程,利用判别式进行解决;求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值,用函数的思想分析解答.9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知AB4,DE2,则C的焦点到准线的距离为_.答案4解析不妨设抛物线C:y22px(p0),圆的方程设为x2y2r2(r0),如图,又可设A(x0,2),D,点A(x0,2)在抛物线y22px上,82px0,点A(x0,2)在圆x2y2r2上,x8r2,点D在圆x2y2r2上,52r2,联立,解得p4,即C的焦点到准线的距离为p4.10.如图,已知双曲线C:1(a0,b0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点,若PAQ60,且3,则双曲线C的离心率为_.答案解析因为PAQ60,APAQ,所以APAQPQ,设AQ2R,又3,则OPPQR.双曲线C的渐近线方程是yx,A(a,0),所以点A到直线yx的距离d,所以2(2R)2R23R2,即a2b23R2(a2b2),在OQA中,由余弦定理得,OA2OQ2QA22OQQAcos60(3R)2(2R)223R2R7R2a2.由得所以双曲线C的离心率为e.11.设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线ykx(k0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.若6,则k的值为_.答案或解析依题意得椭圆的方程为y21,直线AB,EF的方程分别为x2y2,ykx(k0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1x2,且x1,x2满足方程(14k2)x24,故x2x1 .由6知,x0x16(x2x0),得x0(6x2x1)x2 .由点D在AB上知x02kx02,得x0.所以,化简得24k225k60,解得k或k.12.已知直线l:yk(x1)与抛物线C:y24x交于不同的两点A,B,且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F,则k_.答案或解析点F的坐标为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1k(x11),y2k(x21),当k0时,l与C只有一个交点,不合题意,因此k0.将yk(x1)代入y24x,消去y,得k2x22(k22)xk20,依题意知,x1,x2是的不相等的两个实根,则由以AB为直径的圆过F,得AFBF,即kAFkBF1,所以1,即x1x2y1y2(x1x2)10,所以x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10,所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20,把x1,2代入得2k210,解得k,经检验k适合式.综上所述,k.一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数,将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时,要先对方程进行变形,尽量构造两个比较熟悉的函数.1.函数f(x)2x的零点个数为_.答案1解析在同一平面直角坐标系下,作出函数y12x和y2的图象,如图所示.函数f(x)2x的零点等价于2x的根,等价于函数y12x和y2图象的交点横坐标.由图可知只有一个交点,所以有一个零点.2.若关于x的方程kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为_.答案解析x0是方程的一个实数解;当x0时,方程kx2可化为(x4)|x|,x4,设f(x)(x4)|x|(x4且x0),y,则两函数图象有三个非零交点.f(x)(x4)|x|的大致图象如图所示,由图可得0.所以k的取值范围为.3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x1)f(x1),当x1,0时,f(x)x3,则关于x的方程f(x)|cosx|在上的所有实数解之和为_.答案7解析因为函数f(x)为偶函数,所以f(x1)f(x1)f(x1),所以函数f(x)的周期为2.又当x1,0时,f(x)x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1f(x)与y2|cos x|的图象如图所示.由图象知关于x的方程f(x)|cos x|在上的实数解有7个.不妨设x1x2x3x4x5x6x7,则由图得x1x24,x3x52,x41,x6x70,所以方程f(x)|cos x|在上的所有实数解的和为42107.4.(2018无锡检测)设函数f(x)若方程f(x)mx0恰好有3个根,则实数m的取值范围为_.答案(0,1)解析当x0时,xlog2(x1)mx0,所以x0是方程的一个根;当x1时,1mx,所以m,当1x1且x0时,令xlog2(x1)mx,则mlog2(x1),画出关于g(x)的函数图象,如图.所以满足ym和yg(x)的图象有两个交点的m的取值范围为0m1,因为x0是方程f(x)mx0的一个根,所以方程f(x)mx有3个根的m的取值范围为0m0,所以m1,故m的取值范围是1,).7.若不等式|x2a|xa1对xR恒成立,则实数a的取值范围是_.答案解析作出y1|x2a|和y2xa1的简图,如图所示.依题意得2a22a,故a.8.已知函数f(x)若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)f(x2),则实数a的取值范围为_.答案0,)解析根据题意知f(x)是一个分段函数,当x1时,是一个开口向下的二次函数,对称轴方程为xa;当x1时,如图(1)所示,符合题意;当0a1时,如图(2)所示,符合题意;当a0).若圆C上存在点P,使得APB90,则m的最大值为_.答案6解析根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r1,且AB2m,因为APB90,连结OP,可知OPABm.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为OC5,所以(OP)maxOCr6,即m的最大值为6.10.设双曲线C:1(a0,b0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切,则双曲线C的离心率为_.答案解析如图所示,设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q,连结OQ,则OQPF2.又PF1PF2,O为F1F2的中点,所以PF12OQ2a.又PF2PF12a,所以PF24a.在RtF1PF2中,由PFPFF1F,得4a216a220a24c2,即e.11.已知抛物线的方程为x28y,F是其焦点,点A(2,4),在此抛物线上求一点P,使APF的周长最小,此时点P的坐标为_.答案解析因为(2)284,所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部,如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQl于点Q,过点A作ABl于点B,连结AQ,由抛物线的定义可知,APF的周长为PFPAAFPQPAAFAQAFABAF,当且仅当P,B,A三点共线时,APF的周长取得最小值,即ABAF.因为A(2,4),所以不妨设APF的周长最小时,点P的坐标为(2,y0),代入x28y,得y0.故使APF的周长最小的点P的坐标为.12.已知P是直线l:3x4y80上的动点,PA,PB是圆x2y22x2y10的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为_.答案2解析连结PC,由题意知圆的圆心C(1,1),半径为1,从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时,RtPAC的面积SPACPAACPA越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于直线l时,S四边形PACB有唯一的最小值,此时PC3,从而PA2,所以(S四边形PACB)min2PAAC2.1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x),且在0,1上是减函数,则f,f,f的大小关系为_.答案fff解析因为f(x2)f(x),所以T4,又f(x)为奇函数,所以f(x1)f(x1)f(1x),即f(x)图象关于x1对称.作图,由图知ff0,b0)的右焦点F作直线yx的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若2,则该双曲线的离心率为_.答案解析设F(c,0),则直线AB的方程为y(xc),代入双曲线渐近线方程yx,得A.由2,可得B,把B点坐标代入1,得1,c25a2,离心率e.5.记实数x1,x2,xn中最小数为minx1,x2,xn,则定义在区间0,)上的函数f(x)minx21,x3,13x的最大值为_.答案8解析在同一坐标系中作出三个函数yx21,yx3,y13x的图象如图.由图可知,在实数集R上,minx21,x3,13x为yx3上A点下方的射线,抛物线AB之间的部分,线段BC与直线y13x在点C下方的部分的组合体.显然,在区间0,)上,在C点时,yminx21,x3,13x取得最大值.解方程组得点C(5,8).所以f(x)max8.6.已知函数f(x)|lg(x1)|,若1ab且f(a)f(b),则a2b的取值范围为_.答案(6,)解析由图象可知b2,1a2,lg(a1)lg(b1),则a,则a2b2b2(b1)3,由对勾函数的性质知,当b时,f(b)2(b1)3单调递增,b2,a2b2b6.7.已知函数f(x)若不等式f(x)mx恒成立,则实数m的取值范围为_.答案32,0解析函数f(x)及ymx的图象如图所示,由图象可知,当m0时,不等式f(x)mx不恒成立,设过原点的直线与函数f(x)x23x2(x1)相切于点A(x0,x3x02),因为f(x0)2x03,所以该切线方程为y(x3x02)(2x03)(xx0),因为该切线过原点,所以(x3x02)x0(2x03),解得x0,即该切线的斜率k23.由图象得23m0.8.已知函数f(x)xsinx,若存在x2,1,使得f(x2x)f(xk)0在R上恒成立,即函数f(x)在R上单调递增.若x2,1,使得f(x2x)f(xk)0成立,即f(x2x)f(xk),所以f(x2x)f(kx),即x2xx22x,令g(x)x22x,x2,1.则kg(x)ming(1)1,故实数k的取值范围是(1,).9.已知正四棱锥的体积为,则正四棱锥的侧棱长的最小值为_.答案2解析如图所示,设正四棱锥的底面边长为a,高为h.则该正四棱锥的体积Va2h,故a2h32,即a2.则其侧棱长为l.令f(h)h2,则f(h)2h,令f(h)0,解得h2.当h(0,2)时,f(h)0,f(h)单调递增,所以当h2时,f(h)取得最小值f(2)2212,故lmin2.10.若函数f(x)|2x2|b有两个零点,则实数b的取值范围是_.答案 (0,2)解析由f(x)|2x2|b有两个零点,可得|2x2|b有两个不等的实根,从而可得函数y1|2x2|的图象与函数y2b的图象有两个交点,如图所示.结合函数的图象,可得0b0),若两条曲线没有公共点,则r的取值范围是_.答案(0,1)解析方法一联立C1和C2的方程,消去x,得到关于y的方程y22y10r20,方程可变形为r2y22y10,把r2y22y10看作关于y的函数.由椭圆C1可知,2y2,因此,求使圆C2与椭圆C1有公共点的r的集合,等价于在定义域为y2,2的情况下,求函数r2f(y)y22y10的值域.由f(2)1,f(2)9,f,可得f(y)的值域为,即r,它的补集就是圆C2与椭圆C1没有公共点的r的集合,因此,两条曲线没有公共点的r的取值范围是(0,1).方法二联立C1和C2的方程消去x,得到关于y的方程y22y10r20.两条曲线没有公共点,等价于方程y22y10r20要么没有实数根,要么有两个根y1,y22,2.若没有实数根,则44(10r2)或r0,解得0r0,故(x)在上单调递增,所以(x)0.因此g(x)0,故g(x)在上单调递增,则g(x)g2,所以a2,解得a2,所以a的取值集合为2.
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