湖南省醴陵市2019届高三数学上学期第一次联考试题 理.doc

湖南省醴陵市2019届高三数学上学期第一次联考试题 理考试时量：120分钟；总分：150分注意事项：1请在答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题仅有一个答案是正确的）1. 已知全集， 集合， ， 则（） A. B. C. D.2. 已知 （ 为虚数单位) ，则复数 的虚部为（ ） A.B.1C.D.23下列命题中正确的是（ ）A若pq为真命题，则pq为真命题B“a0，b0”是“”的充要条件C命题“x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23 x + 2 0”D命题p：，使得x2+ x1 0，则p：，使得x2 + x 1 04. 已知F1 ， F2是双曲线E： 的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，且sinMF2F1= ，则E的离心率为（ ） A.B.C.D.25. 设等差数列的前 项和为，且， ，则满足 的最大自然数 为（ ） A.12B.13C.22D.23XYAXyBXyCXyD6. 函数（其中 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ） XYAXyBXyCXyDXYAXyBXyCXyD7. 已知抛物线的焦点为 ，准线为 ，且 过点， 在抛物线上，若点 ，则的最小值为（ ） A.2B.3C.4D.58. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方法的种数是（ ） A.16B.24C.8D.1210. 函数 （ ）的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前n项和为 ，且满足 ， ， ，记 ，数列 的前 n 项和为 ，若对 ， 恒成立，则k 的取值范围为（ ） A.B.C.D.12. 已知四面体 AB CD 的外接球球心O恰好在棱AD上，且 ， ，则这个四面体的体积为（ ） A. B.C. D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 若 满足不等式 , 则 的最大值为_. 14. 已知向量与的夹角为 ， ， ，则 _. 15. 已知函数，若存在常数，对，唯一的，使得，则称常数是函数在上的“几何平均数”.已知函数，则在上的“几何平均数”是 16. 已知函数，函数 有三个零点，则实数 的取值范围为_ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题需要写出必要的解答过程）17. （本小题满分12分）设 的内角 的对边分别为a,b,c 且 . （1）求角 B 的大小; （2）若 ， , 求边 a和 c 的值. 18. （本小题满分12分）某数学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”分数50,59)60,69)70,79)80,89)90,100甲班频数56441乙班频数13655（1）由以上统计数据填写下面22列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）甲乙两班成绩未达优良的同学共15位，老师现从中任意抽取3人进行谈话，以便了解学习情况在这3人中，记乙班成绩不优良的人数为 ，求 的分布列及数学期望附： 临界值表如下： 0.010 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，DQPCBA且 .（1）证明： ； （2）若 为 的中点，且 ，求二面角 的大小. 20 . （本小题满分12分）已知椭圆 : () , 过点，离心率为 .（）求椭圆 的方程；（） ， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 ， 两点， 交椭圆 于另一个点 ，求面积取得最大值时直线 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数，曲线在x = 1处的切线方程为。（1）求a 和b的值；（2）求函数在上的最大值；（3）证明：当x 0时，.22. （本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，其中 .（）求 的极坐标方程；（）若 与 交于不同两点A和B ，且 ，求 的最大值. 2019届高三第一次联考数学（理科）参考答案一、单选题(每小题5分，共60分)题号123456789101112答案CDDACBBCABAD11.【答案】A 【解答】由 ，得 ，两式作差得 又 ， ，可求得a3=4,所以数列 是等比数列，且 ，代入 ，所以 而 恒成立，所以 ，故选A【分析】,得到两式子一减得到,进而求出的通项，将其通项代入,裂项得到，求其前n项和可以采用裂项相消法，最后便可以计算出k的范围。12.【答案】D 【解答】 ，AC = 2，AB 2 + BC 2 = AC 2 ， ABBC ， ABC外接圆的直径为AC, 圆心O为AC的中点球心O恰好在侧棱DA上, ，又外接球球心O恰好在棱AD上，所以O为AD中点，所以/BC.即 ， ，四面体的体积为 .故答案为：D.【分析】 由数据得到ABBC,则直角ABC外接圆的直径为AC,圆心O为AC的中点,得到DC 面A B C ,再由体积公式求体积.二、填空题(每小题5分，共20分）13.【答案】 14.【答案】6 15.【答案】 16.【答案】 16.【解答】由题得 有三个零点，所以 有三个零点，所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分，y=a(x-2)表示过定点（2,0）的直线，所以直线和粗线有三个交点.所以 由题得, .所以, 所以a的取值范围为 .【分析】本题的突破口是研研究结构特征，从而将g(x)=0的零点问题转化为,于是可以通过作图加以研究解决。三、解答题（本大题共6小题，共70分)17.【解答】（1）解:bsinA= acosB,由正弦定理可得 .2分即得 0.4分 ,.5分 .6分.（2）解:sinC =2sinA,由正弦定理得c=2a,.8分由余弦定理 , ,解得 .10分 .12分 【分析】（1）利用正弦定理边化角，得B角的正切，求得B.（2）利用正弦定理角化边，再用余弦定理解得a和c.18.【解答】（1）解：根据题意得22列联表如下：甲班乙班总计成绩优良91625成绩不优良11415总计202040 .2分根据22列联表中的数据，得 的观测值为 ，.4分 在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.6分（2） 由题可知 的可能取值为0,1,2,3.7分 ； ； ； 的分布列为：X0123P .10分所以 .12分 【分析】 （1）将列联表填写完整，结合K2的计算公式，计算结果，即可得出答案。（2）分别计算出X=0，1，2，3的概率，列出分布列，计算期望，即可得出答案。19. 【解答】（1）证明： ， ， ， .1分又 底面 ， .2分 ， 平面 .3分 平面 ，.4分平面 平面 .5分（2）解：由（1）知，DA,DB,DP两两垂直 ，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，设AD=1得AB=2, ，令 ，则 ， ， ， ， ，.6分 . ， .7分故 ， .8分设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得，即 .9分易知平面 的一个法向量为 ，.10分则 .11分二面角 的大小为 . .12分【分析】（1）根据勾股定理得出BCBD，结合PDBC可得BC平面PBD，利用平面与平面垂直的判定得出平面PBD平面PBC； （2）建立坐标系，求出平面QBD和平面BCD的法向量，用空间向量求平面间的夹角，得出二面角的大小（注：由于命题出现失误，此题第2问存在问题，应该没有固定结果，为使评价近似合理，建议阅卷作如下标准记分：学生采用“设AD=1”方法所得出参考答案中结果的记满分，学生采用设其他具体数据算出余弦值或角度的记满分，如果学生考虑周密认为只能设AD为字母参数而算不出结果也得满分。命题组给大家带来麻烦还敬请谅解）20. 【解答】解：（1）由题意得 .2分解得 .4分 所以椭圆方程为 .5分方法二：由得.1分.2分由椭圆经过点P（0，2）得.3分所以.4分所以椭圆方程为 .5分（2）由题知直线 的斜率存在，不妨设为 ，则 ： . .6分若 时，直线 的方程为 ， 的方程为 ，易求得 ， ，此时 . .7分若 时，则直线 ： .圆心 到直线 的距离为 .直线 被圆 截得的弦长为 . .8分.由 ，得 ，故 . .9分所以 . .10分当 时上式等号成立. .11分因为 ，所以 面积取得最大值时直线 的方程应该是 .12分 【分析】（1）结合椭圆的基本性质列方程，即可得出答案。（2）分k=0和k不为0两种情况讨论，结合直线l1的方程和圆方程，用k表示|AB|的长，结合直线l2和椭圆方程，利用所截的弦长为,表示线段PD，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。21 【解答】解：（1），.1分由题设得，.2分解得， .3分（2） 法1：由（1）知，.4分因为当时，所以当时，故在上单调递增，.5分 所以.6分法2：由（1）知，.4分在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，.5分 所以， .6分 （3） 因为，又由（2）知，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方.7分 下证：当时，设，则，由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以存在，使得所以当时，；当，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 又（当且仅当时取等号） 故.10分 因为当时，故当时，当且仅当时取等号， 所以当时即，所以，即成立（当时等号成立） 12分22【答案】解：（）消去参数 得到 的普通方程为.2分 再将， 代入 的普通方程中，得到 的极坐标方程为 .4分 （）将 代入 ，得 .6分 令 ，得 ，已知 ，解得 .7分 设 ，则，则 .8分 所以 .9分 又 ，所以当 即 时 的最大值为 .10分 【解析】（1）将参数方程化成普通方程，再利用代入，化简，即可得出答案;（2）把题目所求的式子转化成三角函数的形式，再求三角表达式的最大值，即可得出答案。