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考点规范练32二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、基础巩固1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0 之间,则b应取的整数值为()A.2B.1C.3D.0答案B解析由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)0,即b-78(b-2)0,解得78b0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是()A.32B.12C.2D.52答案B解析直线y=-ax+z(a0)的斜率为-a0)的最小值为()A.0B.aC.2a+1D.-1答案D解析由约束条件x0,x-2y0,yx-1作出可行域如图.化目标函数z=ax+y(a0)为y=-ax+z,由图可知,当直线y=-ax+z过点A(0,-1)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-1.6.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件x+y-30,x-2y-30,xm,则实数m的最大值为()A.-1B.1C.32D.2答案B解析可行域如图阴影所示,由y=2x,x+y-3=0,得交点A(1,2),当直线x=m经过点A(1,2)时,m取到最大值为1.7.已知实数x,y满足条件x2,x+y4,-2x+y+c0,若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为.答案10解析画出x,y满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由x=2,-2x+y+c=0,解得x=2,y=4-c,代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.由x+y=4,-2x+y+5=0,得B(3,1).当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元.答案27解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y.由题意得x0,y0,3x+y13,2x+3y18,此不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.由图可知当y=-53x+z3经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,zmax=53+34=27(万元).9.已知实数x,y满足x-2y+40,2x+y-20,3x-y-30,则x2+y2的取值范围是.答案45,13解析画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为252=45,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.因此x2+y2的取值范围是45,13.二、能力提升10.已知x,y满足约束条件x+y-20,x-2y-20,2x-y+20.若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.12或-1B.2或12C.2或1D.2或-1答案D解析(方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zBzC或zA=zCzB或zB=zCzA,解得a=-1或a=2.(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0AB或l0AC时符合题意,故a=-1或a=2.11.若不等式组x+y-20,x+2y-20,x-y+2m0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()A.-3B.1C.43D.3答案B解析如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m-1.这时平面区域为ABC.由x+y-2=0,x+2y-2=0,解得x=2,y=0,则A(2,0).由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m,则B(1-m,1+m).同理C2-4m3,2+2m3,M(-2m,0).SABC=SABM-SACM=12(2+2m)(1+m)-2+2m3=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-3-1舍去).12.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的质量(单位:吨)如下表所示:原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数量.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为4x+5y200,8x+5y360,3x+10y300,x0,y0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-23x+z3,这是斜率为-23,随z变化的一族平行直线,z3为直线在y轴上的截距,当z3取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距z3最大,即z最大.解方程组4x+5y=200,3x+10y=300,得点M的坐标为(20,24).所以zmax=220+324=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.三、高考预测13.已知x,y满足约束条件x-y+20,x1,x+y+k0,z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,则k=.答案1解析画出不等式组表示的平面区域,如图所示,结合目标函数的几何意义可知,目标函数在点C(1,3)处取得最大值,在点B(1,-1-k)处取得最小值,所以zmax=1+33=10,zmin=1+3(-1-k)=-2-3k.根据题意有10=-2(-2-3k),解得k=1.
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