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3.4不等式的实际应用学习目标1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题知识点一不等式模型建立不等式模型解决实际问题的过程：(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；(3)解决数学问题；(4)回归实际问题，写出准确答案知识点二常见的不等式模型1一元二次不等式模型根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响2均值不等式模型根据题意抽象出的模型是(1)yx(a0)，(2)ab，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a0，b0，以及等号成立的条件是否具备题型一一元二次不等式的实际应用命题角度1范围问题例1国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？解设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的金额为70xR%万元，其中x10010R.由题意，得70(10010R)R%112，整理，得R210R160.因为360，所以方程R210R160的两个实数根分别为R12，R28.由二次函数yR210R16的图象，得不等式的解集为R|2R8所以当2R8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元反思感悟解有关不等式应用题的步骤(1)选用合适的字母表示题中的未知数(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)(3)解所列出的不等式(组)(4)结合问题的实际意义写出答案跟踪训练1某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30的方向，与A市相距400km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，因为AB400，BAx30，所以热带风暴中心B的坐标为(200，200)，xh后热带风暴中心B到达点P(200，40x200)处，由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|350，即(200)2(40x200)23502，整理得16x2160x3750，解不等式，得3.75x6.25，A市受热带风暴影响的时间为6.253.752.5，故在3.75h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5h.命题角度2最值问题例2甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险(1)若f(0)10，g(0)20，试解释它们的实际意义；(2)设f(x)10，g(x)20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？解(1)f(0)10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当成立故y(20)10，则4y600，所以(4)(415)0，得4，故y16，x2024，即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费反思感悟与最值相关的二次函数问题的解题方法(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小跟踪训练2已知不等式sin2x2asinxa22a20对一切xR恒成立，求实数a的取值范围解设f(x)sin2x2asinxa22a2，则f(x)(sinxa)222a.当a0显然成立，a0，解得a1，1a1时，f(x)在sinx1时取到最小值，且f(x)mina24a3，由a24a30，解得a3，a3.综上所述，a的取值范围为(，1)(3，)题型二均值不等式的实际应用例3某单位决定投资3200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元(1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解(1)设铁栅长为xm，一侧砖墙长为ym，则有Sxy.由题意得40x245y20xy3200.由均值不等式，得3200220xy12020xy12020S，S6160，即(16)(10)0.160，100，S100.S的最大允许值是100m2.(2)由(1)知取得最大值的条件是40x90y，而xy100，由此求得x15，即铁栅的长应是15 m.反思感悟(1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性跟踪训练3把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A4B8C16D32答案B解析设截成的两段铁丝长分别为x,16x,0x320，即x228x1920，解得12x16，所以每件售价应定为12元到16元之间2某校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为_m2.答案648解析设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为m，又设占地面积为ym2，依题意，得y(x8)4244424224648(m2)当且仅当x，即x28时，取“”3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处答案5解析设仓库到车站距离为x公里，则y1，y2k2x且k120，k2，则两项费用之和Sx8(万元)，当且仅当x，即x5公里时，两项费用之和最小为8万元4要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值解设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，ab9000.广告的高为a20，宽为2b25，其中a0，b0广告的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a5001850025a40b18500218500224500当且仅当25a40b时，等号成立，此时ba，代入式得a120，从而b75，即当a120，b75时，S取得最小值24500，故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小，最小值为24500cm21解不等式实际应用题的解题思路2建立一元二次不等式模型求解实际问题操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解一、选择题1若2x25x20，则2|x2|等于()A4x5B3C3D54x答案C解析2x25x20，x2，2x1，x2，原式|2x1|2|x2|2x12(x2)32根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn(21nn25)(n1,2，12)按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A5月、6月B6月、7月C7月、8月D8月、9月答案C解析n个月累积的需求量为Sn，第n个月的需求量为anSnSn1(21nn25)21(n1)(n1)25(n215n9)a1S11.5即满足条件，(n215n9)1.5，解得6n9(n1,2,3，12)，n7或n8.故选C3某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xN)为二次函数关系(如图)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了()A3年B4年C5年D6年答案C解析设ya(x6)211，由条件知7a(46)211，a1y(x6)211x212x25每辆客车营运的年平均利润122122(万元)，当且仅当x，即x5时等号成立4小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()AavBvC.vDv答案A解析依题意，设甲，乙两地路程为s，则v0ab，又a，av5在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15,20B12,25C10,30D20,30答案C解析依题意，设矩形高为ym，则x(40y)(40x)yxy4040，即xy40，y40x，xy300，即x(40x)300，解得10x306某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件B80件C100件D120件答案B解析设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则yx0，220当且仅当，即x80时取等号即每批生产80件，平均每件费用最小二、填空题7若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.答案25解析设矩形的一边为xm，则另一边为(202x)(10x)m，yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax258现有含盐7%的盐水200克，生产含盐5%以上6%以下的盐水，设需要加入含盐4%的盐水x克，则x的取值范围是_答案(100,400)解析由题意，得5%100%6%，解得100x4009某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，t变动的范围是_答案3,5解析由题意可列不等式24000t%90003t510要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案160解析设长方体底面的一边长为x，则另一边长为，故总造价S420x1021028020160，当且仅当x，即x2时等号成立，故最低总造价为160元11将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是_6.5m；6.8m；7m；7.2m.答案解析设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab2，ab4，lab2426.828(m)故既够用，浪费也最少三、解答题12某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10000(10.6x)(0x1)，整理得y6000x22000x20000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x，所以投入成本增加的比例应在内13一服装厂生产某种风衣，月销售x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p1602x，生产x件的成本总数R50030x(元)(1)当月产量为多少时，该厂的月获利不少于1300元？(2)当月产量为多少时，该厂的月获利最大？最大月获利是多少？解(1)设该厂月获利为y，则y(1602x)x(50030x)2x2130x500，由题意得y1300，解得20x45，当月产量在20至45件之间时，月获利不少于1300元(2)由(1)知y221612.5x为正整数，当x32或33时，y取最大值为1612，当月产量为32或33件时，月获利最大，且最大为1612元14行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足关系：s(n为常数，且nN)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中则n为()A7B5C6D8答案C解析依题意，得解得又nN，所以n615学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买(1)该食堂每多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由解(1)设每t天购进一次大米，易知每次购进大米量为t吨，那么库存总费用即为2t(t1)21t(t1)若设平均每天所支付的总费用为y1，则y1t(t1)1001500t15011521当且仅当t，即t10时，等号成立，故应每10天购买一次大米，能使平均每天支付的总费用最少(2)若接受价格优惠条件则至少每20天购买一次，设t(t20)天购买一次，每天支付费用y2，则y2t(t1)10015000.95t1426，令f(t)t(t20)，设20t10，即f(x)在20，)上单调递增故当t20时，y2取最小值为1451元1521元，从而知该食堂应接受价格优惠条件
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