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(四)函数与导数(2)1(2018江西省重点中学协作体联考)已知f(x)ex，g(x)x2ax2xsin x1.(1)证明：1xex(x0,1)；(2)若x0,1)时，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围(1)证明设h(x)ex1x，则h(x)ex1，故h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增从而h(x)h(0)0，即ex1x.而当x0,1)时，ex1x，即ex.(2)解设F(x)f(x)g(x)ex(x2ax2xsin x1)，则F(0)0，F(x)ex(2xa2xcos x2sin x)要求F(x)0在0,1)上恒成立，必须有F(0)0.即a1.以下证明：当a1时，f(x)g(x)只要证1xx2x2xsin x1，只要证2sin xx在0,1)上恒成立令(x)2sin xx，则(x)2cos x10对x0,1)恒成立，又(0)0，所以2sin xx，从而不等式得证2(2018宿州质检)设函数f(x)xaxln x(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的极大值点为x1，证明：f(x)exx2.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)1aln xa，当a0时，f(x)x，则函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0得0x.所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增；当a0得0x，由f(x)，所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增；当a0时，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)证明由(1)知a0)，则F(x)1 .令g(x)xex，得函数g(x)在区间(0，)上单调递增而g(1)10，g(0)10，所以在区间(0，)上存在唯一的实数x0，使得g(x0)x00，即x0，且x(0，x0)时，g(x)0.故F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增F(x)minF(x0)ln x0 x01.又x0，F(x)minln x0x01 x01x010.F(x)F(x0)0成立，即f(x)exx2成立3(2018皖江八校联考)已知函数f(x).(1)若a0，函数f(x)的极大值为，求实数a的值；(2)若对任意的a0，f(x)在x0，)上恒成立，求实数b的取值范围解(1)由题意，f(x)(2ax1)ex(ax2xa)exexax2(12a)xa1 ex(x1)(ax1a)当a0时，f(x)ex(x1)，令f(x)0，得x1；令f(x)1，所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以f(x)的极大值为f(1)，不合题意当a0时，10，得1x1；令f(x)0，得x1，所以f(x)在上单调递增，在，(1，)上单调递减所以f(x)的极大值为f(1)，得a2.综上所述a2.(2)令g(a)，a(，0，当x0，)时，0，则g(a)对a(，0恒成立等价于g(a)g(0)，即bln(x1)对x0，)恒成立当b0时，显然bln(x1)在0，)上不恒成立当b0时，x(0，)，bln(x1)0，此时bln(x1)，不合题意当b0时，令h(x)bln(x1)，x0，)，则h(x)(exxex)，其中(x1)ex0，x0，)，令p(x)bexx21，x0，)，则p(x)在区间0，)上单调递增，b1时，p(x)p(0)b10，所以对x0，)，h(x)0，从而h(x)在0，)上单调递增，所以对任意x0，)，h(x)h(0)0，即不等式bln(x1)xex在0，)上恒成立0b1时，由p(0)b10及p(x)在区间0，)上单调递增，所以存在唯一的x0(0,1)，使得p(x0)0，且x(0，x0)时，p(x)0.从而x(0，x0)时，h(x)0，所以h(x)在区间(0，x0)上单调递减，则x(0，x0)时，h(x)h(0)0，即bln(x1)0.(1)解f(x)ln xax.令xt，x(t0)令h(t)ln tat，则函数yh(t)与yf(x)的零点个数情况一致h(t)a.()当a0时，h(t)0，h(t)在(0，)上单调递增又h(1)a0，aaeaaa0时，h(t)在上单调递增，在上单调递减h(t)maxhln1.当ln时，h1即0a0，又e1，h(1)a0.又(1e)0，(a)在上单调递增，(a)2e0，此时有两个零点综上，当a0或a时，有1个零点；当0a时，无零点(2)要证g(x)f(x)ax20，只需证2(2x)e.令m(0,1)，只需证22.令t(m)，t(m)0，t(m)在(0,1)上单调递增，t(m)t(1)0，20.5(2018洛阳模拟)已知函数f(x)(x1)exx2，其中tR.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当t3时，证明：不等式f(x1x2)f(x1x2)2x2恒成立(其中x1R，x20)(1)解由于f(x)xextxx(ext)()当t0时，ext0，当x0时，f(x)0，f(x)单调递增，当x0时，f(x)0时，由f(x)0得x0或xln t.当0t1时，ln t0时，f(x)0，f(x)单调递增，当ln tx0时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增；当t1时，f(x)0，f(x)单调递增；当t1时，ln t0.当xln t时，f(x)0，f(x)单调递增，当0xln t时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增综上，当t0时，f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数；当0t1时，f(x)在(，0)，(ln t，)上是增函数，在(0，ln t)上是减函数(2)证明依题意f(x1x2)f(x1x2)(x1x2)(x1x2)f(x1x2)(x1x2)f(x1x2)(x1x2)恒成立设g(x)f(x)x，则上式等价于g(x1x2)g(x1x2)，要证明g(x1x2)g(x1x2)对任意x1R，x2(0，)恒成立，即证明g(x)(x1)exx2x在R上单调递增，又g(x)xex3x1，只需证明xex3x10即可令h(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0时，h(x)0，h(x)minh(0)0，即xR，exx1，那么，当x0时，xexx2x，xex3x1 x22x1(x1)20；当x0时，ex0，xex3x10恒成立从而原不等式成立
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